一、Long- time Convergence of Numerical Approximations for Semilinear Parabolic Equations(Ⅰ )（论文文献综述）
姜文竹[1]（2021）在《半线性抛物积分微分方程扩张混合有限元方法的两层网格格式》文中提出两网格有限元方法首次由许进超教授提出并用于求解非对称和不定线性椭圆方程.随后,许教授考虑了半线性和非线性椭圆方程的两网格有限元方法.基于此两网格算法,一些专家学者将两网格格式与混合有限元方法,有限体积元方法和有限差分方法等多种方法结合求解几类非线性抛物问题.本文针对一类半线性抛物积分微分方程,提出了一个将两种二阶时间离散格式与扩张混合有限元方法相结合的两网格格式,并给出了详细的收敛性分析.首先,在两网格格式的粗网格空间上,第一个时间层用Crank-Nicolson格式求解原非线性问题,其他时间层使用蛙跳格式求解.接下来,利用已知的粗网格解和Taylor展式在细网格空间上求解.最后,给出数值算例验证理论结果.
王峥[2]（2021）在《线性隐式变步长BDF方法求解不可压缩Navier-Stokes方程》文中研究说明Navier-Stokes方程是描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程.因其在实际问题中的广泛应用,对该方程的数值解法研究具有重要的现实意义.本文提出了用线性隐式变步长BDF方法求解二维不可压缩的Navier-Stokes方程（涡量-流函数形式）.其中,时间方向上采用线性隐式变步长BDF方法,即:对扩散项进行隐式离散,非线性对流项采用隐式和显式相结合的方法离散.因此,在每个时间步上只需要线性解法器就可以获得所需的时间精度.由于FFT带来的便捷性,空间上采用了傅里叶谱逼近的方法.借助先验假设和混叠误差控制技术,在适当的步长约束下,得到了多种范数下单步和两步向后微分公式的误差估计.本文也分别进行了强粘性系数和弱粘性系数下的数值实验:与定步长BDF方法相比,本文的方法具有较小的误差与最佳收敛阶;与隐显BDF2方法（显式离散非线性对流项）相比,具有更好的稳定性;与全隐Crank-Nicolson方法相比,计算成本更小,从而证明了本文所提方法的有效性和鲁棒性.由于后验误差估计是自适应算法的基础,因此本文进一步提出了一种基于线性隐式变步长BDF方法的二次重构,并得到了相应的后验误差估计,实验结果表明了理论分析的正确性与一致性.
孙晶[3]（2021）在《反常动力学模型的数值求解及算法优化》文中认为反常扩散现象在自然界中是广泛存在的,分数阶微积分算子对刻画反常扩散现象起着非常重要的作用.但是该类算子的非局部性、奇异性及时空耦合性等使得现有的对分数阶偏微分方程的理论分析及数值算法都不是很成熟,所以如何有效的数值求解相关的分数阶偏微分方程（组）仍是一项有意义的工作.本文主要是针对具体的几种刻画反常动力学现象的分数阶偏微分方程（组）给出正则性分析、建立数值格式以及优化相关算法.本文包含的主要内容如下:第一章,主要是简述分数阶扩散方程（组）的研究背景及研究现状;同时介绍了本文的主要工作及创新点.第二章,主要是讨论向后的分数阶Feynman-Kac方程的正则性和数值算法.首先给出了该方程的正则性分析.基于正则性估计,我们利用向后欧拉（BE）卷积求积方法来离散Riemann-Liouville分数阶物质导数及有限元方法离散空间Laplace算子,通过适当地调整有限元格式的投影方式以减弱分数阶物质导数的时空耦合性对逼近精度的影响,从而给出带有非光滑数据的向后的分数阶Feynman-Kac方程的BE全离散格式.最后,在保证空间最优收敛阶的情况下,利用由高阶向后差分公式（BDF）生成的卷积求积方法逼近Riemann-Liouville分数阶物质导数,并通过步步修正该离散格式,使得时间精度高达6阶.第三章,对向后欧拉（BE）和二阶向后差分（SBD）卷积求积方法逼近的Riemann-Liouville分数阶导数的算法给出了加速方案,然后利用该加速算法求解了齐次的分数阶Fokker-Planck方程组.我们所提加速算法的亮点是不需要对解的时间正则性做任何假设.众所周知,分数阶导数算子的非局部性使得计算时间和内存量都比较大,尤其是求解大规模的分数阶方程组.本章中利用多个等比数列的和有效地逼近由BE和SBD卷积求积方法生成的权,然后利用等比数列的性质来迭代进行计算,这就大大减少了计算复杂度.从误差分析中可以知道我们提出的快速算法是如何影响精度的.最后通过对比性实验来说明所提快速算法的有效性.第四章,对二维空间分数阶扩散方程建立中心局部间断有限元格式.据我们所知,目前该方法主要是用来求解整数阶偏微分方程,这里将该方法用于数值求解分数阶偏微分方程.对比传统的间断有限元方法,中心局部间断有限元方法通过使用两套相互交错网格上的信息来避免数值流的使用,同时这个格式还包含了间断有限元方法的两大主要优点,即网格剖分的灵活性及有效的并行效率.为了保证我们数值格式的稳定性和收敛性,根据中心局部间断有限元格式的特点及理论估计的需要,对之前已有的局部间断有限元格式做了相应的修正,并且给出了该离散格式的稳定性及误差估计,数值实验也验证了该算法的有效性.另外,本章所给的算法和理论分析对一维的空间分数阶扩散方程依然适用.第五章,将积分型分数阶Laplace算子分解为（-△）su=（-△）（-△）s-1u,其中s∈（0,1/2）∪（1/2,1）.基于此分解,我们分别对一维和二维的带有非齐次Dirichlet边界条件的分数阶Laplace算子进行离散,并利用函数逼近理论给出了相应的截断误差.此外,我们给出适当的修正以保证求解非齐次分数阶Dirichlet问题的收敛性,并且当解u ∈C1,α（Ωnδ）时,收敛阶为O（h1+α2s）,这里n表示空间维数,α∈(max（0,2s-1）,1],δ是一个固定的正常数,h表示网格尺寸.最后,通过大量数值实验验证了理论结果的正确性.第六章,先对本文研究内容进行总结,然后对未来的研究工作进行展望.
张法勇[4]（2020）在《自治常微分方程欧拉法的长时间收敛性和误差估计（英文）》文中认为利用向前和向后欧拉法研究了自治常微分方程趋于其渐进稳定的双曲平衡点的解的逼近,得到了向前和向后欧拉法的解在无界时间区间[0,∞)上的最优误差估计。几个数值试验验证了理论分析的正确性。
吴渤[5]（2020）在《高阶发展问题的高效算法研究》文中研究指明现代科学技术、工程中的许多问题都和时间有关,且它们的数学模型都可用线性或者非线性发展方程（组）的定解问题来描述.这些问题,尤其是和非线性发展方程（组）相关的问题一般都很复杂,很难得到它们的显式解,因此数值求解势在必行.本文的目的就是针对几类重要的高阶发展方程（组）构建高效数值算法并进行系统数值模拟.所以,该研究具有重要的理论意义与应用前景.首先,针对带Dirichlet或周期边界条件的任意阶发展方程提出了统一的快速紧致时间积分方法（FCTI）.具体而言,先对方程在空间方向采用四阶紧致差分格式进行离散并基于谱分解导出常微分方程组形式的半离散化格式.然后通过常数变易公式得到半离散化格式之解的显式时间积分表示式.在此基础上,对积分中的非线性源项采用Lagrange多项式插值逼近并精确计算相应积分,由此获得最终数值方法.两种边界条件下的谱分解分别对应于离散sine变换和离散Fourier变换,因此该方法还可以通过FFT算法来实现快速计算.然后对二阶发展方程进行了线性稳定性分析.数值结果验证了稳定性.进一步,数值实验还表明:FCTI方法经简单的修改后,可以有效地求解一些非标准的高阶半线性发展方程.其次,对非线性源项的近似采用Hermite插值,构造了求解n阶发展方程的新型快速紧致时间积分方法.该方法的思想非常朴素,就是在[tm,tm+1]上使用FCTI方法求解高阶方程（n ≥2）时,通过（3.10）可以获得数值解及其导函数在右端时刻的值,即U（l）（tm+1）,0≤l≤n-1,但在下一个时间步计算时只用到了已知值U（0）（tm+1）.如果能够充分利用已经算到的所有函数值U（l）（tm+1）,0≤l≤n-1来构造插值多项式,就能得到时间方向上更为紧凑的高精度格式.于是只需利用前一时间层的计算信息就可以在时间方向上达到n阶精度.数值模拟的结果验证了该方法的有效性.然后,构造了求解带Neumann边界条件的一阶和二阶发展方程的高效算法.Zhu等在文献[106]中指出直接利用Neumann边界条件,在边界处难以构造可快速计算的高精度离散格式.本文充分利用方程本身和文献[68]中的定理1,构造出了 Neumann边界条件的高精度离散格式,再结合内部格点上的紧致差分格式（2.17）,获得了全局四阶紧致差分格式.并利用文献[54,100]的算法处理技巧实现了高效计算.数值实验结果令人满意.最后,利用本文提供的快速紧致时间积分方法对三类在数学物理学科有重要影响的非线性耦合问题进行了高效算法设计及其数值模拟,得到了令人满意的数值结果.这些问题包括耦合Schrodinger方程组、Klein-Gordon-Schrodinger 方程组、Klein-Gordon-Zakharov 方程组.
汤涛,乔中华[6]（2020）在《相场方程的高效数值算法》文中研究表明本文回顾求解相场方程数值方法的一些最新进展.数值求解相场方程的主要难点在于非线性项和高阶微分项对时间步长有严格限制,而相场方程的数值模拟通常需要很长的计算时间才能达到稳定状态.众所周知,相场模型满足一种称为能量稳定的非线性稳定关系,通常表示为自由能泛函随时间递减.如何设计满足离散能量稳定的数值格式,使得可以进行大时间步长同时又准确地模拟,近来越来越受到重视.本文将针对一些常见的相场方程阐述几类广泛使用的高效数值格式,以及基于能量随时间的变化率而设计的一种时间自适应算法,使得数值解的准确性和算法稳定性得到保证的前提下,计算效率大大提高.
Md. Abdullah Al Mahbub[7]（2020）在《多物理场流动问题的稳定化混合有限元方法》文中研究指明本论文研究了地表水流-地下水流相关的多区域多物理场系统的稳定化混合有限元方法。一方面,对于充满流体的导管区域,我们假设其内部流体自由流动,通过Stokes或Navier-Stokes方程控制。另一方面,多孔介质区域是由相互连接空隙的固体基质组成,其主要特征体现在孔隙率,即空隙空间与该区域总体积的比率,我们一般通过Darcy方程或Dual-porosity方程来描述多孔介质中的流体流动,其中,Dual-porosity方程刻画了可扩展的微裂缝和基质两类多孔介质的非均匀性。要将两个相互独立的问题耦合建模,就需要具有实际物理意义的耦合交界面条件,我们假设微裂缝和导管区域之间具有连续的流体连通,即界面质量守恒,基质与导管区域之间无流体流通,即无连通交界面条件,同时,应用法向力平衡及Beavers-Joseph-Saffman等经典的交界面条件。混合有限元具有良好的守恒性和高精度的通量计算,更能准确地描述多孔介质中流体流动过程的宏观特性,因此,为了更好的模拟多物理场模型,我们提出了一类新的稳定化混合有限元方法。本论文构造的具有鲁棒性的混合有限元方法不需要引入拉格朗日乘子,为了确保算法的数值稳定性,我们引入了具有松弛参数且依赖于网格的稳定项。首先,对定常的Stokes-dual-permeability流体模型,我们通过引入界面稳定项,提出了稳定化混合有限元算法,并严格的证明了其连续性、弱强制性及最优的误差估计。同时,我们构建了该稳定化方法的迭代算法,证明了迭代格式的收敛性。随后,在定常情形基础上,针对非定常的Dual-porosity-Stokes流体流动模型,我们设计了两种稳定化混合有限元算法,即稳定化混合有限元方法的耦合算法和解耦算法,并就两种算法的稳定性及误差估计展开研究。基于相似的思想,针对非定常的Stokes-Darcy系统,我们通过引入界面稳定项和一致性项,设计了稳定化混合有限元方法及其耦合和解耦算法。此外,由于空间的不一致性,我们运用了一种新误差估计技巧,即将有限元空间数值解与模型问题精确解做比较,从而导出误差方程,传统上,误差方程表示为原问题对应的变分形式和有限元离散格式之间的差。最后,我们设计并提出了一个新的闭环地热系统的耦合数学模型,主要模拟地下热交换管道网络系统及其从地热储层中提取地热能的过程。该模型考虑了地热储层中的多孔介质流和管道中的自由流之间的传热。两个不同区域的流体流动分别用Darcy方程和Navier-Stokes方程来控制,两区域之间的热传递过程则由热方程与流动方程耦合来描述。在两个区域之间的交界面上,我们考虑了四个具有实际物理意义的界面条件,分别表示温度和热通量的连续性以及闭环地热系统的流体非流通性。为了准确有效地求解该模型,我们引入界面热能稳定项,设计了其解耦稳定化有限元算法,不仅解耦了两个流动区域,而且还分离了每个区域的热量场和流量场,并得到了该解耦算法的无条件稳定性。大量数值算例进一步验证了多物理场模型的适用性和数值方法的有效性。
谢建强[8]（2020）在《几类分数阶波方程和麦克斯韦方程组的保能量数值方法》文中提出大多数分数阶偏微分方程的解析解很难得到,因此,研究精确、稳定且高效的分数阶偏微分方程数值解法是十分必要和重要的.在过去的几十年,许多优秀的数值方法如有限差分法、有限元法、有限体积法和谱方法等已经被用来求解分数阶偏微分方程.保持原问题某些特性的数值方法,在稳定性、长时间模拟和抑制非物理震荡等方面有显着优势,但是构造具有这一特性的数值方法常常是很困难的.本文主要研究几类分数阶波方程和麦克斯韦方程组的保能量数值方法,包括分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程组,空间分数阶Boussinesq方程以及强耦合非线性空间分数阶阻尼波方程组.本文共五章,具体的研究内容如下:第一章简要地介绍了分数阶导数的定义和性质,给出了本文的研究背景和内容.第二章研究了空间分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程组的能量守恒线性差分方法.使用能量方法和“cut-off”技巧,证明了其差分解在L∞-和L2-范数下有O（△t2+h2）阶精度,并且是无条件收敛和稳定的.数值结果验证了此格式的有效性和理论结果的正确性.第三章发展了空间分数阶Boussinesq方程的能量守恒分裂的有限差分方法及理论.通过引入势能方程和边界条件,将原问题转化为等价的分数阶抛物方程组.对获得的方程组构造能量守恒的Crank-Nicolson格式.运用能量方法,证明了此格式的解在L∞-范数下以O（△t2+h2）的收敛率无条件收敛.提出一个新的线性迭代算法应用到此格式的数值计算.第四章研究了一类强耦合非线性空间分数阶阻尼波方程的两个新颖有效的能量耗散的差分方法.其中一个是两层全隐差分格式,另一个是基于能量二次化方法构造的三层线性差分格式.我们严格证明了这两种格式解的能量耗散性、存在性、无条件收敛性和稳定性.运用能量法,获得了其解在L∞-范数下有O（△t2+h2）阶精度.数值结果模拟了这两种格式解的物理性态和无条件能量稳定性,验证了理论结果的正确性.第五章致力于二维麦克斯韦方程组的两类新的保能量局部网格细化的分裂时域有限差分格式（EP-LMR-S-FDTD）的构造和数值分析.在局部网格细化下,定义保持能量守恒和具有高阶精度的局部界面格式是一项极具挑战性的工作.本章重要的特点是,在粗细网格的界面上,提出有效的局部界面格式.它们可以确保能量守恒性质,保持空间高阶精度和避免虚拟震荡.同时,我们对EP-LMR-S-FDTD格式提出了一个快速实现算法,它克服了求解“刀叉型结构”的困难.我们证明了 EP-LMR-S-FDTD格式是能量守恒和无条件稳定的.而且我们获得了 EP-LMR-S-FDTD格式的收敛性.数值实验证实了EP-LMR-S-FDTD格式的高效性,进一步验证了理论结果.
李晓乐[9]（2020）在《几类非线性偏微分方程的高精度守恒数值方法研究》文中研究表明许多科学和工程问题的数学模型往往由偏微分方程所描述,而绝大多数的偏微分方程没有解析解,这为利用方程来解决实际的工程改造和工程控制设计等问题带来了很大的困难,因此数值求解偏微分方程便应运而生。此外,在科学和工程计算中往往要求数值解具有高精度、保持原模型的一些性质如能量守恒性等以及在长时间模拟下数值误差不会太大,而高精度守恒的数值格式能够满足这些“苛刻”的要求。本文使用变限积分法数值求解Klein-Gordon方程和Korteweg-de Vries Benjamin-Bona-Mahony（KdV-BBM）方程,使用局部间断Galerkin法数值求解Benjamin-Bona-Mahony（BBM）方程和改进的Boussinesq方程,得到相应的高精度保持原方程守恒性的数值格式。这些方程出现在流体力学、非线性光学、声学、量子物理等重要的科学和工程领域,因此这些方程的高精度守恒的数值格式不仅会帮助相关领域的理论发展还会有广泛的应用价值。本文的主要的创新性结果有:1.在以下两个方面发展和完善了变限积分法的理论:第一,探讨了如何用泰勒公式法处理变限积分,以及如何设计积分限参数以得到的“整齐”的变限积分结果,通过这种方法说明了所有由差分可以得到的格式均可由变限积分法得到;第二,通过对变限积分的交换积分次序的运算,揭示了变限积分法本质上是利用到网格点附近所有点的“加权”信息,而不仅仅是网格点上的信息,这是与差分法只用到网格节点上的信息有本质上的不同。2.用变限积分法设计了非线性Klein-Gordon方程的一个四阶紧致守恒的空间半离散格式,并证明了空间半离散格式的稳定性和收敛性。然后利用多维扩展的Runge-Kutta-Nystr?m（ERKN）方法离散时间,得到全离散格式。数值算例验证了收敛阶、能量守恒性,并和现有的一些方法作了比较,发现变限积分法具有较小的误差和能量差。算例最重要的一个贡献是模拟了解的有限时间爆破,分析了初始能量和初始泛函等对爆破时间的影响,这使得提出的四阶守恒的数值格式不仅会有重要的理论和应用价值,还可为实际的工程控制问题像如何避免爆破或控制爆破（提前或延缓爆破的时间）提供重要参考。3.用变限积分法得到了关于非线性KdV-BBM方程的两种四阶并保持质量与能量守恒的空间半离散格式。证明了这两种空间半离散格式的解在离散无穷范数下依初值稳定以及按照O（h4）收敛到精确解。然后利用隐式中点法方法离散时间,得到全离散格式。数值实验验证了全离散格式的时间和空间收敛阶、质量和能量的守恒性,以及在长时间下误差增长缓慢。最后模拟了双孤子波的碰撞。4.用局部间断Galerkin法对BBM方程提出、分析和数值验证了两类具有最优的先验误差估计的数值格式:LDG格式和d LDG格式。其中LDG格式能保持离散形式的质量。通过选择恰当的数值通量,LDG格式还能保持/耗散离散形式的能量。d LDG格式是通过“加倍PDE”的思想,即引入了一个零解的BBM方程构造出的。d LDG格式也能保持离散的质量与能量。论文的一个重要的工作是揭示了辅助变量和主变量误差之间的联系。利用这种联系,通过辅助变量来约束非线性项进而证明了两类数值格式均具有最优的先验误差估计。时间离散则是采用了能保持能量的隐式中点法。数值实验表明能量守恒的LDG格式无论从长时间的误差、保持波形还是相位误差方面都要好于能量耗散的LDG方法。而d LDG方法一方面能够改善Central-LDG格式的次优误差估计的结果,另一方面,同守恒的LDG格式相比,在同样的网格条件下,d LDG方法的数值误差更小,但计算时间却相差不多。5.用局部间断Galerkin法离散改进的Boussinesq方程,提出了一种能保持原方程质量和能量并具有最优误差估计的LDG格式。然后使用显式与隐式的时间离散方法得到了两种能精确的保持质量与能量的全离散格式。数值算例验证了该方法具有最优收敛阶。波传播的数值模拟表明提出的LDG格式能够很好的模拟出单波的传播、双波的碰撞、单波的分裂和有限时间爆破。
李宁[10]（2019）在《反应扩散方程差分解的长时间收敛性及误差估计》文中进行了进一步梳理本文对一类反应扩散方程初边值问题构建一种有限差分格式,全文共分四章进行描述:第一章为绪论部分,首先介绍了非线性动力系统的背景及发展状况,其次介绍了反应扩散方程的形成和发展,以及解决该类问题所常用的有限差分法的操作步骤,并对国内外的研究现状以及取得的成果给予介绍,最后给出本文研究的目的和意义.第二章给出了一些预备知识,主要是与本文相关的一些符号及假设条件,随后运用有限差分法对该问题进行离散,建立了经典的向后Euler差分格式,同时给出本文研究所需的一些引理,以及本文所要研究的一个主要定理.第三章和第四章对所构造的有限差分格式解的长时间性态进行研究,对于差分解的存在唯一性予以详细证明,最后,我们充分讨论了差分解在有界时间[0,T]及无界时间[T,+∞)的收敛性并给出差分解与精确解之间的误差估计.
二、Long- time Convergence of Numerical Approximations for Semilinear Parabolic Equations(Ⅰ )（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Long- time Convergence of Numerical Approximations for Semilinear Parabolic Equations(Ⅰ )（论文提纲范文）
（1）半线性抛物积分微分方程扩张混合有限元方法的两层网格格式（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 空间及范数 |
| 2.2 投影算子 |
| 2.3 重要引理 |
| 第3章 扩张混合有限元逼近及误差分析 |
| 3.1 问题模型 |
| 3.2 弱形式及全离散格式 |
| 3.3 先验误差估计 |
| 第4章 两网格算法及收敛性分析 |
| 4.1 两网格算法 |
| 4.2 粗网格上的先验误差估计 |
| 4.3 细网格上的先验误差估计 |
| 第5章 数值实验 |
| 5.1 实验数据 |
| 5.2 结果分析 |
| 第6章 结论 |
| 参考文献 |
| 作者简介 |
| 致谢 |
（2）线性隐式变步长BDF方法求解不可压缩Navier-Stokes方程（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 研究背景及模型问题 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文结构 |
| 第2章 半离散数值方法 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 线性隐式变步长BDF1 方法的稳定性和收敛性 |
| 2.3 线性隐式变步长BDF2 方法的稳定性和收敛性 |
| 2.3.1 相容性 |
| 2.3.2 l~∞(0,T;L~2)范数下的误差估计 |
| 2.3.3 l~∞(0,T;H~1)-和 l~2(0,T;H ~1)-范数下的误差估计 |
| 第3章 全离散数值方法 |
| 3.1 Galerkin傅里叶谱逼近下的线性隐式变步长BDF方法 |
| 3.2 配置傅里叶谱逼近下的线性隐式变步长BDF1 方法 |
| 3.2.1 相容性 |
| 3.2.2 稳定性和收敛性 |
| 3.3 配置傅里叶谱逼近下的线性隐式变步长BDF2 方法 |
| 3.3.1 相容性 |
| 3.3.2 H~1先验估计 |
| 3.3.3 L~2误差估计 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 强粘性系数 |
| 3.4.2 弱粘性系数 |
| 第4章 后验误差估计 |
| 4.1 二次重构 |
| 4.1.1 基于LI-BDF的重构 |
| 4.2 后验误差估计 |
| 4.3 数值实验 |
| 第5章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
（3）反常动力学模型的数值求解及算法优化（论文提纲范文）
| 摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及现状 |
| 1.2 本文的主要工作及创新点 |
| 1.3 本文的结构安排 |
| 第二章 向后的分数阶Feynman-Kac方程的数值逼近 |
| 2.1 预备知识及几个必需的引理 |
| 2.2 方程解的正则性估计 |
| 2.3 带有非光滑数据的向后的分数阶Feynman-Kac方程的数值逼近 |
| 2.3.1 BE半离散格式及误差分析 |
| 2.3.2 BE全离散格式及误差分析 |
| 2.4 向后的分数阶Feynman-Kac方程的修正的高阶逼近 |
| 2.4.1 修正的高阶BDF全离散格式的构建 |
| 2.4.2 修正的高阶BDF全离散格式的误差估计 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.5.1 BE全离散格式的收敛阶 |
| 2.5.2 修正的高阶BDF全离散格式的收敛阶 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 Riemann-Liouville分数阶导数卷积求积逼近的快速算法 |
| 3.1 准备知识 |
| 3.1.1 几个必需的概念 |
| 3.1.2 方程组(3.1)的等价形式及一些有用的估计 |
| 3.2 Riemann-Liouville分数阶导数的快速计算 |
| 3.2.1 快速的BE离散 |
| 3.2.2 快速的SBD离散 |
| 3.3 误差分析 |
| 3.3.1 快速的BE格式的误差分析 |
| 3.3.2 快速的SBD格式的误差估计 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 快速的BE格式的效果 |
| 3.4.2 快速的SBD格式的效果 |
| 3.5 本章小结 |
| 3.6 附录:方程(3.12)和方程(3.20)的推导 |
| 第四章 空间分数阶扩散方程的中心局部间断有限元格式 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 中心局部间断有限元格式的构建 |
| 4.3 稳定性分析和误差估计 |
| 4.3.1 稳定性分析 |
| 4.3.2 误差估计 |
| 4.4 有效的计算 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 非齐次分数阶Dirichlet问题的有限差分求解 |
| 5.1 一维和二维的积分型分数阶Laplace算子的数值离散 |
| 5.1.1 一维离散 |
| 5.1.2 二维离散 |
| 5.2 截断误差分析 |
| 5.3 非齐次分数阶Dirichlet问题的收敛性分析 |
| 5.3.1 一维的修正和收敛性分析 |
| 5.3.2 二维的修正和收敛性分析 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 在读期间的研究成果 |
| 致谢 |
（4）自治常微分方程欧拉法的长时间收敛性和误差估计（英文）（论文提纲范文）
| 0 Introduction |
| 1 The forward Euler method |
| 2 The backward Euler method |
| 3 Numerical Experiments |
| 4 Conclusions |
（5）高阶发展问题的高效算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT(英文摘要) |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与研究现状 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作和创新点 |
| 1.4 符号说明 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 几个典型的发展方程 |
| 2.1.1 Allen-Cahn方程 |
| 2.1.2 广义Klein-Gordon方程 |
| 2.1.3 在松弛介质中传播的三阶波动方程 |
| 2.1.4 耦合问题 |
| 2.2 常微分方程初值问题的求解 |
| 2.3 三个特殊矩阵的谱分解及其快速计算 |
| 2.4 空间离散方法 |
| 2.4.1 二阶中心差分格式 |
| 2.4.2 紧致差分格式 |
| 2.5 指数时间差分方法 |
| 第三章 求解一类任意阶发展方程的快速紧致时间积分方法 |
| 3.1 二维空间上的紧致时间积分方法及其快速实现 |
| 3.1.1 空间离散:四阶紧致差分及其离散sine变换(DST) |
| 3.1.2 时间方向离散:时间积分多步法逼近 |
| 3.1.3 周期边界问题 |
| 3.2 三维情形的推广 |
| 3.3 线性稳定性分析 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 稳定性测试 |
| 3.4.2 收敛性和高效性测试 |
| 3.4.3 与傅立叶谱IFRK方法的比较 |
| 3.4.4 一些应用问题 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 求解任意阶发展方程的新型快速紧致时间积分方法 |
| 4.1 Dirichlet边界问题 |
| 4.2 基于Hermite插值近似的时间积分方法 |
| 4.3 周期边界问题 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 小结 |
| 第五章 求解带Neumann边界条件的一阶发展方程的快速紧致指数时间差分方法 |
| 5.1 快速紧致指数时间差分法 |
| 5.1.1 空间离散化:四阶紧致差分格式 |
| 5.1.2 指数时间积分与快速计算 |
| 5.2 三维情形的推广 |
| 5.3 数值实验 |
| 5.3.1 收敛性和高效性测试 |
| 5.3.2 Allen-Cahn方程 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 求解带Neumann边界条件的二阶发展方程的高效算法 |
| 6.1 空间半离散 |
| 6.2 时间离散 |
| 6.3 数值实验 |
| 6.3.1 收敛性和效率测试 |
| 6.4 小结 |
| 第七章 求解耦合发展方程组的高效算法 |
| 7.1 空间方向离散 |
| 7.2 时间方向离散 |
| 7.3 数值实验 |
| 7.3.1 有效性和高效性测试 |
| 7.3.2 三类非线性耦合问题 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间的研究成果及发表的论文 |
（7）多物理场流动问题的稳定化混合有限元方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 Introduction |
| 1.1 Applications |
| 1.2 Different Multi-physics Fluid Models to Study Surface-Subsurface Flowand Some Heat Transfer Models |
| 1.3 Coupling Conditions |
| 1.4 Literature Review |
| 1.5 Mixed Stabilized Finite Element Methods |
| 1.6 Background of this Study |
| 1.6.1 Motivation Ⅰ |
| 1.6.2 Motivation Ⅱ |
| 1.7 Thesis Contribution |
| 1.8 Thesis Outline |
| 2 A Brief Description of the Coupled Fluid Flow Models |
| 2.1 Surface Flow or Free Flow |
| 2.1.1 Navier-Stokes Equation |
| 2.1.2 Stationary and Non-stationary Stokes Equation |
| 2.2 Subsurface Flow or Groundwater Flow |
| 2.2.1 Darcy's Law |
| 2.2.2 Brinkman and Forchheimer Fluid Flow Model |
| 2.2.3 Dual-Porosity Equations in the Naturally Fractured Reservoir |
| 2.2.4 Mixed Dual-Porosity Equations in the Naturally Fractured Reser-voir |
| 2.2.5 Mixed Dual-Permeability Equations in the Naturally FracturedReservoir |
| 2.2.6 Interface Conditions to Couple Free Flow and Porous MediaFlow |
| 2.3 Closed-Loop Geothermal System |
| 2.3.1 Heat and Fluid Flow in the Pipe Region |
| 2.3.2 Heat and Fluid Flow in the Geothermal Reservoir |
| 2.3.3 Interface Conditions for the Closed-loop Geothermal System |
| 3 Preliminaries and Notations |
| 3.1 The Lebesgue Measurable Lp(?) Spaces |
| 3.2 Space of Distributions |
| 3.3 Sobolev Norms and Associated Spaces |
| 3.3.1 Sobolev Embedding |
| 3.4 Definition of Some Operators |
| 3.5 Useful Inequalities |
| 4 Mixed Stabilized Finite Element Method for the Steady Stokes-Dual-Permeability Fluid Flow Model |
| 4.1 The Stationary Stokes-Dual-Permeability Model Specification |
| 4.2 Preliminaries, Variational Formulation and Finite Element Discretization |
| 4.2.1 Preliminaries |
| 4.2.2 Variational Formulation |
| 4.2.3 Finite Element Discretization |
| 4.3 The Stabilized Finite Element Method, their Stability and Error Esti-mate |
| 4.3.1 Stability Analysis of the Stabilized Scheme |
| 4.3.2 Error Estimate for the Stabilized Scheme |
| 4.4 Iterative Scheme, the Convergence of the Iterative Scheme and theRate of Convergence |
| 4.4.1 Iterative Scheme Convergences to the Coupled Scheme and theRate of Convergence |
| 4.5 Numerical Tests |
| 4.5.1 Analytical Solution Test |
| 4.5.2 Stability Test Via Analytical Solution and the Effect of theIntrinsic Permeability |
| 4.5.3 Multistage Hydraulic Fractured Horizontal Wellbore with Cased-Hole Completion |
| 4.5.4 Horizontal Open-Hole Wellbore with Vertical Production Well-bore Completion |
| 4.5.5 Enhance Productivity by Increasing the Pressure of the Reservoir |
| 5 Coupled and Decoupled Stabilized Mixed Finite Element Methods for Non-Stationary Dual-Porosity-Stokes Fluid Flow Model |
| 5.1 The Dual-Porosity-Stokes Model |
| 5.2 Preliminaries, Weak Formulation, and Finite Element Spaces |
| 5.3 Coupled and Decoupled Schemes and their Stability |
| 5.3.1 Coupled Stabilized Scheme |
| 5.3.2 Decoupled Stabilized Scheme |
| 5.4 Convergence Analysis for Stabilized Coupled and Decoupled Schemes |
| 5.4.1 Error Estimate for the Coupled Stabilized Scheme |
| 5.4.2 Error Estimate for the Decoupled Stabilized Scheme |
| 5.5 Numerical Experiments |
| 5.5.1 Convergence Test |
| 5.5.2 Horizontal Open-Hole Completion Wellbore with a VerticalProduction Wellbore and a Vertical Injection Wellbore |
| 5.5.3 Multistage Hydraulic Fractured Horizontal Wellbore with Cased-Hole Completion |
| 6 Uncoupling Evolutionary Groundwater-Surface Water Flows: Stabilized Mixed Methods in Both Porous and Fluid Region |
| 6.1 Model Specification |
| 6.2 Notations and Preliminaries |
| 6.3 The Fully Coupled Stabilized Scheme and Stability Analysis |
| 6.3.1 The Fully Coupled Stabilized Scheme |
| 6.3.2 The Decoupled Stabilized Scheme and Stability Analysis |
| 6.4 Error Estimates for Both Coupled and Decoupled Stabilized Schemes |
| 6.4.1 Error Estimate for the Fully Coupled Stabilized Scheme |
| 6.4.2 Error Estimate for the Decoupled Stabilized Scheme |
| 6.5 Numerical Comparisons |
| 6.5.1 Example 1 |
| 6.5.2 Example 2 |
| 6.5.3 Example 3 |
| 7 A Coupled Multi-Physics Model and a Decoupled Stabilized Finite ElementMethod for Closed-Loop Geothermal System |
| 7.1 The Governing Equations |
| 7.1.1 Dimensional Form of the Closed-Loop Geothermal System |
| 7.1.2 Verification for the Units on the Two Sides of the Equations ofthe Closed-Loop Geothermal System |
| 7.1.3 The Nondimensionalization of the Closed-Loop Geothermal Sys-tem |
| 7.1.4 The Nondimensional Form of the Closed-Loop Geothermal Sys-tem |
| 7.2 Preliminaries, Variational Formulation, and the Coupled Discretiza-tion Scheme |
| 7.3 The Decoupled Stabilized Finite Element Method |
| 7.4 Numerical Experiments |
| 7.4.1 Convergence and Stability Tests |
| 7.4.2 Convection in a Squared Cavity |
| 7.4.3 Simulation for a Closed-Loop Geothermal System |
| 7.4.4 Simulation for a Closed-Loop Geothermal System with CurvedInterface |
| 8 Conclusion and Future Work |
| 8.1 Conclusion |
| 8.2 Future Work |
| Bibliography |
| Acknowledgements |
| Published Works |
| Submitted Works |
| In Preparation |
（8）几类分数阶波方程和麦克斯韦方程组的保能量数值方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| Chapter 1 Introduction |
| 1.1 Definitions and properties of fractional derivatives |
| 1.2 Research background and contents |
| 1.2.1 Space fractional partial differential equations |
| 1.2.2 Maxwell's equations |
| Chapter 2 Optimal error estimate of linear conservative difference solver for fractional Klein-Gordon-Zakharov system |
| 2.1 Introduction |
| 2.2 Construction of second-order linear conservative finite difference scheme |
| 2.2.1 Partition and notations |
| 2.2.2 Establishment of second-order conservative difference scheme |
| 2.3 Theoretical analysis of linear conservative difference scheme |
| 2.3.1 Discrete energy conservation law |
| 2.3.2 Solvability |
| 2.3.3 Convergence |
| 2.3.4 Stability |
| 2.4 Numerical experiments |
| 2.5 Conclusions |
| Chapter 3 A conservative splitting difference scheme for the fractional-inspace Boussinesq equation |
| 3.1 Introduction |
| 3.2 Construction of conservative difference scheme |
| 3.2.1 Notations and lemmas |
| 3.2.2 Derivation of conservative difference scheme |
| 3.3 Theoretical analysis of conservative splitting difference scheme |
| 3.3.1 Energy conservative law |
| 3.3.2 Convergence |
| 3.4 Linear iterative algorithm |
| 3.5 Numerical experiments |
| 3.6 Conclusions |
| Chapter 4 Two novel energy dissipative difference schemes for the strongly coupled nonlinear space fractional wave equations with damping |
| 4.1 Introduction |
| 4.2 The energy dissipative finite difference methods |
| 4.2.1 Notations |
| 4.2.2 Establishment of energy dissipative difference schemes |
| 4.2.3 Discrete energy dissipation properties of the corresponding numerical schemes |
| 4.3 Theoretical analysis of energy dissipative finite difference methods |
| 4.3.1 Solvability |
| 4.3.2 Convergence and stability |
| 4.4 Numerical experiments |
| 4.5 Conclusions |
| Chapter 5 Energy-preserving local mesh-refined splitting FDTD methods for two-dimensional Maxwell’s equations |
| 5.1 Introduction |
| 5.2 Maxwell's equations and notations |
| 5.2.1 Maxwell's equations |
| 5.2.2 Notations |
| 5.3 Establishment and implementation of EP-LMR-S-FDTDI method |
| 5.3.1 Construction of EP-LMR-S-FDTDⅠ method |
| 5.3.2 Fast implementation of proposed EP-LMR-S-FDTD methods |
| 5.4 Construction of EP-LMR-S-FDTDⅡ method |
| 5.5 Theoretical analysis of EP-LMR-S-FDTD methods |
| 5.5.1 Discrete energy conservation law and unconditionally stable |
| 5.5.2 Convergence |
| 5.6 Numerical experiments |
| 5.7 Conclusions |
| Bibliography |
| Acknowledgements |
| Publications and finished Papers |
（9）几类非线性偏微分方程的高精度守恒数值方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 四种偏微分方程的背景及研究现状 |
| 1.1.1 Klein-Gordon方程 |
| 1.1.2 BBM方程 |
| 1.1.3 KdV-BBM方程 |
| 1.1.4 Boussinesq方程 |
| 1.2 变限积分法简介 |
| 1.3 间断Galerkin法简介 |
| 1.4 本文的主要内容概述及章节安排 |
| 1.5 本文的创新点 |
| 第2章 变限积分法简介 |
| 2.1 变限积分法构造一维对流扩散方程的空间半离散格式 |
| 2.2 变限积分法构造空间半离散格式的一般步骤 |
| 2.3 使用泰勒公式法处理变限积分 |
| 2.4 交换积分次序化简积分 |
| 2.5 变限积分的推广之权函数法 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 基于变限积分法的一种高阶守恒格式数值求解非线性Klein-Gordon方程 |
| 3.1 变限积分格式的构造 |
| 3.1.1 一些记号 |
| 3.1.2 四阶紧致格式的构造 |
| 3.2 半离散格式的能量守恒性质 |
| 3.3 半离散格式的稳定性和收敛性 |
| 3.4 基于Runge-Kutta-Nystr?m法的时间离散 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.5.1 测试1:单孤子(Single-soliton) |
| 3.5.2 测试2:呼吸式孤立子(Breather soliton) |
| 3.5.3 测试3:有限时间爆破 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 基于变限积分法的两种高阶守恒格式数值求解KdV-BBM方程 |
| 4.1 空间半离散格式的构造 |
| 4.2 半离散格式的质量和能量守恒性质 |
| 4.3 半离散格式的稳定性和收敛性 |
| 4.4 时间离散 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.5.1 精度测试 |
| 4.5.2 质量、能量守恒性验证及长时间误差 |
| 4.5.3 模拟双波的碰撞 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 两类最优局部间断Galerkin法数值求解Benjamin-Bona-Mahony方程 |
| 5.1 LDG空间离散 |
| 5.1.1 一些记号 |
| 5.1.2 半离散LDG方法 |
| 5.1.3 LDG格式的误差估计 |
| 5.1.4 LDG格式的时间离散 |
| 5.2 LDG方法的数值实验 |
| 5.2.1 精度测试 |
| 5.2.2 质量能量守恒验证及长时间行为 |
| 5.3 dLDG空间离散 |
| 5.3.1 dLDG格式的能量守恒性 |
| 5.3.2 dLDG格式的最优误差估计 |
| 5.3.3 dLDG格式的时间离散 |
| 5.4 dLDG方法的数值实验 |
| 5.4.1 dLDG格式的精度测试和质量、能量守恒性检测 |
| 5.4.2 dLDG格式与LDG格式的对比 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 能量保守的局部间断Galerkin法数值求解改进的Boussinesq方程 |
| 6.1 LDG空间离散 |
| 6.1.1 一些记号 |
| 6.1.2 LDG格式 |
| 6.1.3 LDG离散格式的质量、能量守恒性 |
| 6.2 误差估计 |
| 6.3 时间离散 |
| 6.3.1 显式leap-frog法 |
| 6.3.2 隐式中点法 |
| 6.3.3 基于外推法的四阶时间离散 |
| 6.4 数值实验 |
| 6.4.1 精度测试 |
| 6.4.2 质量、能量守恒性验证以及长时间行为 |
| 6.4.3 双孤子波 |
| 6.4.4 波的分裂 |
| 6.4.5 有限时间爆破 |
| 6.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的学术成果 |
| 致谢 |
（10）反应扩散方程差分解的长时间收敛性及误差估计（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题的背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状和发展趋势 |
| 1.3 本文研究内容概述 |
| 1.4 本章小结 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 符号及基本假设 |
| 2.2 引理及主要定理 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 有限差分格式 |
| 3.1 差分格式的构造 |
| 3.2 差分格式的可解性 |
| 3.3 本章小结 |
| 第4章 差分解的长时间收敛性及误差估计 |
| 4.1 差分解在[0,T ]的收敛性及误差估计 |
| 4.2 差分解在[T,+∞)的收敛性及误差估计 |
| 4.3 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
四、Long- time Convergence of Numerical Approximations for Semilinear Parabolic Equations(Ⅰ )（论文参考文献）
- [1]半线性抛物积分微分方程扩张混合有限元方法的两层网格格式[D]. 姜文竹. 北华大学, 2021(12)
- [2]线性隐式变步长BDF方法求解不可压缩Navier-Stokes方程[D]. 王峥. 上海师范大学, 2021(07)
- [3]反常动力学模型的数值求解及算法优化[D]. 孙晶. 兰州大学, 2021(11)
- [4]自治常微分方程欧拉法的长时间收敛性和误差估计（英文）[J]. 张法勇. 黑龙江大学自然科学学报, 2020(06)
- [5]高阶发展问题的高效算法研究[D]. 吴渤. 上海交通大学, 2020(01)
- [6]相场方程的高效数值算法[J]. 汤涛,乔中华. 中国科学:数学, 2020(06)
- [7]多物理场流动问题的稳定化混合有限元方法[D]. Md. Abdullah Al Mahbub. 华东师范大学, 2020(08)
- [8]几类分数阶波方程和麦克斯韦方程组的保能量数值方法[D]. 谢建强. 南京师范大学, 2020
- [9]几类非线性偏微分方程的高精度守恒数值方法研究[D]. 李晓乐. 哈尔滨工程大学, 2020(04)
- [10]反应扩散方程差分解的长时间收敛性及误差估计[D]. 李宁. 黑龙江大学, 2019(03)