一、RATIONAL FORM SOLITARY WAVE SOLUTIONS FOR SOME TYPES OF HIGH ORDER NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS（论文文献综述）
张晓霞[1]（2021）在《几类非线性变系数偏微分方程的精确解》文中研究表明目前,非线性发展方程在诸多领域都有着广泛的应用,其中常系数的偏微分方程研究的更加深入.但是,常系数的方程只是实际问题的近似值和理想值.而大多数非线性偏微分方程的系数是和时间、空间有着密切关联的,它们只有将这些因素结合起来研究才更有意义,也更有研究价值.因此,研究变系数偏微分方程,并且探索其解的形式以及背后所蕴含的物理意义是现在研究的重要课题之一.为了丰富变系数偏微分方程的解系,扩充解的有效性,本文主要利用三种方法即改进的Tanh双曲函数展开法、改进的Jacobi椭圆函数展开法中的第二种椭圆方程法及一般形式的Riccati方程法求解变系数Benjamin-Bona-Mahony-Burgers（BBMB）方程、KdV-Burgers-Kuramoto（Benny）方程以及广义变系数Hirota-Satsuma方程组.通过数学计算软件Mathematica求解非线性变系数常微分方程组,解出了大量孤子解.简单分析方法的形式特点,总结其区别与联系,以便在今后的工作中可以更好的运用此方法.最后部分以总结和展望为主进行阐述.首先总结了目前所做的总体工作和取得的研究成果,以及对于非线性发展领域所做的贡献.之后在展望部分,对于求解变系数非线性偏微分方程（组）的孤子解所产生的一些未解决的问题做了阐述说明,以及相应的期许.
王振立[2]（2020）在《几类偏微分方程的对称和动力学性质》文中进行了进一步梳理本文运用对称性理论、动力系统分支理论研究了数学物理方程中若干非线性模型的相关问题,主要包含以下四个方面的相关内容:Lie对称理论、最优系统、分数阶微分方程和动力学理论。具体章节安排如下:第一章绪论部分,介绍了本文研究内容的理论背景和发展现状,这些理论包括对称理论、最优化理论、分数阶微分方程理论和动力系统分支理论,并阐明了本论文的主要的研究内容。第二章在对称理论的分析的基础上,利用经典的李群方法研究了（2+1）维Bogoy-avlenskii方程的李对称、李代数和群不变解;利用求得的对称将方程进行约化,得到方程的一些新的精确解。最后利用Ibragimov给出的伴随方程思想和Noether定理,利用伴随方程方法来构造Bogoyavlenskii方程的守恒律,通过计算我们可以发现该方法可用于计算任意微分方程的新的守恒律。第三章是在第二章研究的对称理论的前提下,在伴随意义下对子群进行分类,提出了优化系统;并且详细地解释了现有的构建最优系统的方法:Ovisiannikov理论、Olver理论和直接构造法理论。将三种理论通过KdV-like方程作为例子进行逐一的说明。通过对比我们发现利用直接构造法理论的优越性,最后利用此方法研究了 Harry Dym方程的一维优化系统及其相似约化。第四章在对称的理论下研究了时间分数阶弱耦合Kaup-Kupershmidt方程,首先推导了该方程的完整的李点对称,利用经典李对称分析,得到了该方程相应的向量场,并用向量场来约化方程。第五章将微分方程的定性理论与平面动力系统的分支理论相结合,采用动力学系统的方法,研究了 δ≤1的KdV和KdV-like方程的组合形式,在不同参数区域下的相图的所有分支。分别得到了光滑孤波,扭结（反扭结）波解和光滑周期波解以及非光滑行波解（例如peakon,cuspon和周期尖峰波）,最后,研究了它们的精确显式解,并给出了数值模拟。第六章,对全文工作进行讨论和总结,并对下一步要进行的研究工作做了筹划。
郑真真[3]（2020）在《一族新的微分方程的可积性和精确解研究》文中进行了进一步梳理可积系统是非线性科学研究中的一个重要方向,如何寻找新的可积系统并运用多种方法求解进而发现其潜在的理论及应用意义也是其中一个重要的分支,本文主要研究一族新的非线性演化方程的可积性和精确解。首先,我们构造了一个33?的矩阵谱问题,借助于零曲率方程,给出了与该33?矩阵谱问题相关的新的Boussinesq型非线性演化方程族,进而说明其在具有Lax对意义下可积。基于谱问题及其辅谱问题,通过引入相应的Riccati型方程,得到了该族方程中前两个非线性演化方程的无穷多守恒律,进一步说明在其具有无穷多守恒律意义下也是可积的。其次,利用谱问题之间的规范变换,构造了微分方程族中第一个非平凡的演化方程的Darboux变换,并选取合适的种子解,求出了该方程的两组显式精确解。接着利用扩展的同宿呼吸检验法求出该方程的同宿呼吸子孤波解,并通过同宿呼吸子极限法给出同宿波的有理解,并发现此有理解恰是该方程的怪波解,通过Maple软件给出了同宿呼吸子孤波解和怪波解的图像。最后,利用双线性方法求出了该方程的孤子解,并通过Maple软件画出了单孤子解和双孤子解的图像。这些显示解均经过Maple程序代入原方程进行了验证。
徐传海[4]（2020）在《典型单双奇异线色散方程的孤子解及其稳定性研究》文中研究说明非线性现象是普遍存在于自然界中,而研究非线性现象的非线性科学更是与各种学科都有着紧密联系,很多的复杂问题都可以用非线性系统建立模型,从而对非线性系统的研究就显得格外重要。孤立子理论是非线性研究中的重要的一支,是当今非线性学科的热门内容和课题。对非线性系统孤立波解的研究有助于人们理解系统里的运动变化,从而揭示现象背后的本质规律,在物理学和工程技术领域体现了极大的应用价值。在过去的几十年里,随着计算机硬件和软件技术的发展,在应用数学和工程领域的研究方法得到了创新,我们的计算能力得到了很大的提升,绘图能力也得到了加强,可以全方位、多角度的去观察,也可以深入图像的局部进入微观领域中。这也很大程度地提高了关于非线性演化方程的求解和绘图能力,使我们在对孤立子的研究上走的更深更远。本文研究了非线性色散波方程的精确行波解,运用动力系统理论分叉方法和几何奇异摄动理论,对含有奇异线的非线性演化方程进行了讨论研究,展示了其内部随参数变化的丰富的孤立波解,给出了解的解析表达式,并作出了解的二维和三维图像;同时对时滞扰动下的部分孤波解的稳定性进行了研究,得到了相应的结果。具体工作如下:第一、二章是绪论和基本理论,综述了非线性演化方程的研究背景、研究进展和现状,介绍了孤立子理论及其主要的研究方法和本文采用的动力系统首次积分方法,同时介绍了在精确解的求解过程中经常要用到的椭圆积分函数。第三章研究了含有单奇异线的双组份Degasperis-Procesi方程,通过时间尺度变换,将奇异行波系统转化为正则动力系统。因为这样的含有单奇异线双组份Degasperis-Procesi方程的典型性,对这个方程进行了最为详细的分析讨论,对其精确孤立波解和图像进行了完全的展示。通过对参数变化范围的讨论,求得了方程含有的丰富的精确行波解,有kink和anti-kink解、compacton解、anti-compacton解、peakon解、valleyon解、周期compacton解、周期anti-compacton解、周期peakon解、周期valleyon解、loop解、anti-loop解、周期loop解、一些无界解以及第二个变量txv),（出现的新型的不连续解及其周期解等。这些解的动力学性质和参数所满足的条件相对应,在参数连续变化过程中,可以看出解进行了怎样的对应变化。第四章从定性角度研究了含有双奇异线的双组份Degasperis-Procesi方程的行波解,这时的首次积分已不再是有理形式,我们借助于微分方程定性理论,将奇异系统转化为正则系统,根据双组份DP方程正则系统的相图轨道的定性性质,判断出方程含有的丰富的孤立波解,包括尖波解、光滑周期波解、正圏孤子解、周期圏孤子解、光滑的峰形孤立波解、无界解等,并且在参数取一些特殊值的条件下,求出了孤立波解的精确表达式。第五章研究了广义浸入色散K（2,2）方程的行波解,运用动力系统理论分叉方法,分析其动力学性质,对系统的相图轨道进行讨论,得到了浸入色散K（2,2）方程的圈孤立波解、周期圈孤立波解、扭波和反扭波解、尖峰孤立波解、周期尖波解、光滑孤立波解、周期光滑孤立波解以及一些无界解等。同时通过系统的动力学行为,对尖峰孤立波解的产生机理进行了讨论,得出了在不同参数变化时,周期尖波解和光滑孤立波解的变化,它们共同向尖峰孤立波解转变。最后与其他参考文献结论的比较说明了色散扰动项不改变原来解的分布。第六章研究了广义色散Degasperis-Procesi方程的行波解,通过动力系统理论分叉方法,对系统的相图轨道进行分析,得到了广义色散Degasperis-Procesi方程的丰富的精确解,像圈孤立波解、周期圈孤立波解、扭波和反扭波解、尖峰孤立波解、周期尖波解、光滑孤立波解、周期光滑孤立波解以及一些无界解等。同时对尖峰孤立波解的产生机理进行了讨论,最后通过解的比较说明了色散扰动项不改变原来解的分布。第七章研究了时滞扰动条件下Schr?dinger方程的扭结波和反扭结波解的存在性,在分布延迟核是强核时,将具有时滞扰动的方程转化为一个无延迟的四维常微分系统。由于时滞系数?足够小,四维常微分系统是一个标准奇异摄动系统。通过奇异摄动理论,结合Melnikov函数方法证明了时滞Schr?dinger方程在（27）（27）（27）?10,（10）-（28）Oc）(1?条件下存在扭结波和反扭结波解。第八章研究了时滞扰动条件下Schr?dinger方程的周期波解的存在性,通过奇异摄动理论和Melnikov函数方法,结合数学计算软件证明了时滞Schr?dinger方程存在周期波解。第九章对全文进行了总结,并提出了展望。
申亚丽[5]（2019）在《非线性局域波及其动力学分析》文中研究指明随着非线性科学的不断发展,大量新的非线性系统在各个学科不断涌现,利用计算机大容量、高速度的特点,借助精确的符号计算,建立适合于所考虑问题的构造性研究算法,在计算机上实现若干非线性问题研究成果的机械化输出和非线性现象的可视化模拟,仍然是数学机械化发展的主要方向.本文以若干非线性系统为研究对象,借助符号计算系统Maple,展开非线性局域波求解方法及其动力学性质的研究.主要工作包括如下四部分:第一部分,结合Hirota双线性方法对原Backlund变换方法进行修正,给出了构造广义双线性Backlund变换以及利用广义双线性Backlund变换构造非线性局域波的算法,利用该算法研究了三个高维的重要数学物理模型.给出了它们的双线性形式,研究广义双线性Backlund变换与非线性局域波的关系,构造了它们的广义双线性Backlund变换,获得了它们的若干非线性局域波解.第二部分,从Lax方程和零曲率方程出发,编制了 Lax对的自动验证软件包Laxpairtest.基于验证正确的Lax对,构造了一个新近提出的重要的非局部非线性可积系统AB-NLS的n阶Darboux变换,进而通过Darboux变换获得了该系统的1-孤子和2-孤子解.给出了解的三维演化图,分析了其动力学行为.最后,根据Jacobi椭圆函数构建了 AB-NLS系统的周期解.第三部分,将一个新的辅助二次函数的解和双线性变换有机结合,构造获得了高维非线性系统,即4+1维Fokas方程新的lump解;分析了解在不同参数条件下呈现的亮lump波和暗lump波;结合极值理论讨论了 lump波的动力学性质,获得了不同情形下lump波的振幅极值和极值点.进而,提出一种新的符号计算方法,利用该方法研究获得了两个高维非线性系统的带有控制中心的高阶怪波解,分析了解的渐近行为.该方法可直接有效地为高阶怪波的构造提供新的思路.第四部分,综合多种经典方法并结合一些新方法,首次研究获得了带源KdV方程众多非线性局域波解;利用经典Lie群对称法,并借助符号计算系统Maple首次得到了该方程的对称群,基于群不变理论,获得该方程的群不变解;最后,利用Painleve截断展开方法综合研究了该方程的Painleve性质,获得了其Laurent展开形式的解.在得到的三个分支中,通过截断展开式,获得KdV-SCS方程的Backlund变换。
范凯[6]（2014）在《修改的广义Riccati方程有理展开法求解非线性演化方程》文中提出长波在非线性色散介质表面的传播模型,从20世纪60年代开始,一直受到数学家和物理学家的广泛关注.而它的抽象模型大多用非线性演化方程建立,因此对这些非线性演化方程求解问题的研究就具有重要意义.本文主要运用函数展开解法中的tanh函数法,扩展的tanh函数法,广义Riccati方程有理展开法求解了几个模型方程,通过对比分析指数函数法和广义Riccati方程有理展开法,提出了一种新的函数展开解法,并运用此方法得到了两个具有重要意义的非线性演化方程的精确解.本文主要研究工作如下：1.介绍了tanh函数法,扩展tanh函数法,指数函数法,广义Riccati方程有理展开法求解非线性演化方程的主要步骤.2.对IBq方程和BBM-Burgers方程进行了修改,并使用tanh函数法和扩展tanh函数法求解了修改后的IBq方程,结合Exp-function方法求解广义Riccati方程得到的新解,把广义Riccati方程有理展开法应用到了修正后的BBM-Burgers方程,得到了它的一些预先设定形式的精确解.3.通过对含有特定形式非线性项和导数项的一类方程的归纳总结得出,在使用Exp-function方法来求解这类方程时,可以直接使用简化后的Exp-function方法.并对用Exp-function方法得到的KdV方程的部分新解进行详细的推导,通过奇性分析给出了2个新的周期解.4.我们用结合Exp-function方法以及Exp-function方法中平衡UsU（r）)与U（n）归纳运算后的结论修改了广义Riccati方程有理展开法.结合用Exp-function方法求解广义Riccati方程方程得到的新解,用新方法求解了KdV-mKdV非线性演化方程和系数中包含时间变量t的KdV方程.
套格图桑[7]（2011）在《论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进》文中研究指明1834年8月,英国科学家罗素发现了孤立波自然现象.1895年,荷兰阿姆斯特丹大学的数学家德弗里斯（G.de Vries）在导师柯特维格（D.J.Korteweg）的指导下,研究单方向运动的浅水波时,建立了描述罗素孤立波现象的数学模型KdV方程,从理论上肯定了孤立波解的存在性.1955年,美国物理学家费米（Enrico Fermi）,帕斯塔（John Pasta）和犹拉姆（Stan Ulam）提出的着名的FPU问题,对于发现孤立子提供了第一个实验依据.1965年,美国Princeton大学应用数学家扎布斯基（N.J.Zabusky）和实验室的克鲁斯卡尔（M.D.Kruskal）发现了FPU问题中弦的位移满足KdV方程,而且他们通过计算机模拟重现了孤立波相互作用时表现出类此于粒子的性质,并由此提出“孤立子”的概念.孤立子概念的提出证明了孤立波解的稳定性.最近50多年来,人们利用计算机技术,在非线性光学中发现光孤子并应用于通信领域取得了成功.生物学中发现了达维多夫（Davydov）孤立子,海洋学中发现了内孤立波.另外,在凝聚态物理、激光物理、超导物理、经济学、人口问题和医学等诸多科学领域中相继发现了光滑孤立子解、尖峰孤立子解和紧孤立子解等多种孤立子.孤立子理论的研究内容大致分为以下两类.（1）构造系统的求解方法：即构造和发展求解非线性方程的一种系统的方法.这里指的非线性方程包括非线性偏微分方程,非线性常微分方程,非线性积分微分方程和非线性差分微分方程.对于许多非线性发展方程,已经有了多种有效的求解方法,但是没有一种通用的方法.（2）解释解的性质：研究解释可积方程的代数和几何的一系列美妙的性质.这里所说的可积方程是能够转化成线性方程的非线性方程.对于研究解的性质方面一般有如下三个情况.第一种情况：当难以获得显示精确解时,分析研究非线性发展方程的适定性问题；第二种情况：利用计算数学的理论知识和计算机,对解进行模拟分析研究；第三种情况：利用试探法和构造变换法等数学技巧,获得非线性发展方程的精确解.虽然以上三种研究方法的角度不同,但是目的都是解释解的变化规律.数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展,以及与社会政治、经济和一般的文化的联系.1974年,吴文俊开始研究中国数学史.他在“古证复原”原则下,利用“反辉格”与“中西方数学对比”相结合的综合性方法来研究中国传统数学,揭开了中国数学的构造性和机械化性两个特点.在此基础上与计算机技术相结合发明了着名的“吴消元法”.吴文俊的工作成就是“古为今用”的典范.他提出的“新方法论”对于数学史和数学研究工作来说具有指导性和启发性作用.构造非线性发展方程的精确解是孤立子理论的重要研究课题之一.试探函数法与辅助方程法在构造非线性发展方程精确解领域发挥了非常重要的作用,已经获得了许多新成果.本文从“吴消元法”的发明得到启示,利用“新方法论”对2009年以前的辅助方程法和试探函数法有关的大量文献进行认真比较和仔细分析研究,获得了这两种方法的构造性和机械化性.在第四章中总结了试探函数法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,提出了新的试探函数法,构造了非线性连续（离散）发展方程新的精确解.在第五章中首先通过对Riccati方程法等辅助方程法有关的大量文献进行研究,梳理了辅助方程法的思想基础和来源问题,总结了辅助方程法的四个应用步骤体现了该方法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,初步发挥辅助方程法的两大特点,提出了三角函数型辅助方程法与双曲函数型辅助方程法等新的方法,构造了非线性发展方程的新精确解.（1）把非线性发展方程转化为非线性常微分方程的变换具有构造性.（2）辅助方程与非线性常微分方程的形式解具有构造性.（3）非线性方程组的求解问题具有机械化性.（4）非线性发展方程解的验证具有机械化性.理论上说：《非线性发展方程存在无穷多个解》.但是,辅助方程法有关的诸多博士（硕士）学位论文以及相关的文献只获得了有限多个精确解.本文为了获得非线性发展方程的无穷序列精确解,挖掘辅助方程法的两大特点的含义获得了Riccati方程、第一种椭圆辅助方程、第二种椭圆辅助方程等几种常用辅助方程的自Backlund变换、拟Backlund变换和解的非线性叠加公式,构造了连续（离散）和变系数（常系数）非线性发展方程的多种类型的无穷序列新精确解.（1）单函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数单独构成的无穷序列新精确解.这里包括无穷序列光滑孤立波解、无穷序列尖峰孤立波解和尤穷序列紧孤立子解.本文不仅获得了K（m,n）方程、Degasperis-Procesi方程和CH方程的无穷序列尖峰孤立波解和无穷序列紧孤立子解,而目.其他的非线性发展方程中也获得了此类精确解.（2）复合函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数通过几种形式复合而成的无穷序列精确解.这里包括光滑孤立波解、尖峰孤立波解和紧孤立子解通过几种形式复合而成的无穷序列新精确解.
杨先林[8]（2008）在《非线性演化方程精确解构造性理论与算法研究》文中研究指明非线性动力学是非线性科学的一个重要分支,非线性动力学研究对象主要包括分叉、混沌、分形、孤立子等新的现象。非线性演化方程精确解的求解方法是孤立子理论的一个主要内容。随着计算机技术的发展,特别是计算机符号计算软件的出现,非线性演化方程精确解构造性理论及算法研究已成为非线性科学中的前沿研究课题和新的热点。虽然目前已经提出和发展了许多构造非线性演化方程精确解的理论和算法,但是由于构造非线性演化方程精确解没有也不可能有统一而普适的方法,因此继续寻找一些行之有效的求解方法依然是一项十分重要和极有价值的工作。本文在归纳和总结现有各种构造非线性演化方程精确解的主要方法的基础上,对非线性演化方程精确解的构造理论及算法进行了较为系统和深入的研究,提出和拓展了几种构造非线性演化方程精确解的新方法,并将这些方法应用到了许多力学和物理学中非常重要的非线性演化方程,结果不仅获得了这些方程已有的精确解,而且得到了许多新解。因此本文的工作丰富和发展了非线性演化方程精确解的构造理论及算法,具有较大的理论意义和应用价值。全文共分七章。第一章为绪论,对非线性演化方程精确解的构造理论和算法进行综述,说明课题的来源,介绍本文的研究目的、主要内容和创新点。第二章用力学的方法简单地导出了几个重要的非线性演化方程,说明本文研究中所涉及到的非线性演化方程是有力学或物理学背景的。第三章利用多项式判别系统把范式代数方法扩展到其引入的常微分方程的未知函数的最高次幂大于4的情形,并用该方法构造了KdV方程和变形Boussinesq方程的一系列精确行波解,包括有理函数解,孤波解,三角函数周期解,Jacobi周期函数解和隐函数解。第四章引入了一个低阶辅助常微分方程,并获得该方程的一些新解,基于该辅助方程建立了一个辅助方程法的算法和直接求解的算法。利用辅助方程法构造了组合KdV-mKdV方程,（2+1）维Broer-Kaup-Kupershmidt方程,和两类变系数KdV方程的孤波解和三角函数解。使用直接解法构造了两个非线性演化方程:（1+1）维Klein-Gordon方程,（3+1）维Kadomtsev-Petviashvili方程,和两个非线性耦合演化方程组:（2+1）维耦合色散长波方程,耦合Klein-Gordon-Zakharov方程的孤波解和三角函数解。第五章获得了广义Lienard方程的一些新解,并利用它构造了一维广义Klein-Gordon方程,广义Ablowitz方程和广义Gerdjikov-Ivanov方程的精确解。然后引入一个带任意次幂非线性项的辅助常微分方程,利用任意次幂辅助方程法构造了广义Zakharov方程和广义Benjamin-Bona-Mahony方程的精确解。第六章通过一般化sinh-Gordon方程和构造所研究的方程新的试探解来扩展sinh-Gordon方程展开法。并用它构造了（2+1）维Konopelchenko–Dubrovsky方程,KdV-mKdV方程,双sine-Gordon方程和BBM方程的行波解,包括Jacobi椭圆函数双周期解,孤波解,三角函数解。第七章提出了利用耦合的Riccati方程组构造非线性微分-差分方程精确解的一种新的算法—离散耦合Riccati方程展开法,利用该算法获得了一般格子方程,Toda格子方程和（2+1）维Toda格子方程的扭结孤波解和复数解。最后对本文的工作进行了总结,并对今后的研究方向作了展望。
柳银萍[9]（2008）在《微分方程解析解及解析近似解的符号计算研究》文中研究表明自然界中的很多现象都可用非线性微分方程来描述.非线性微分方程解析解的研究对洞察事物内部的结构,剖析事物之间的关系,并应用于解释各种物理现象都起到至关重要的作用.高性能计算机的诞生,极大地推动了非线性微分方程领域的符号计算研究,涌现出了许多构造非线性微分方程解析解的方法和算法.本文以非线性微分方程为研究对象,借助于非线性代数系统Maple,研究了多种构造非线性微分方程精确解及解析近似解的方法和算法.主要工作如下:第一部分研究构造非线性演化方程精确解的方法和算法,具体包括两方面的内容:对已有的构造非线性演化方程精确行波解的几种代数方法,如Riccati方程方法、耦合的Riccati方程方法、假设法、形变映射法等进行了推广和整合,提出了“椭圆方程方法”.并结合吴消元法的思想和方法,在计算机代数系统Maple上编写了推导非线性演化方程精确行波解的软件包RAEEM,该软件包可自动推导出输入方程一系列可能的精确行波解,其中包括多项式解、有理函数解、指数函数解、三角函数解、双曲函数解及Jacobi椭圆函数解、Weierstrass椭圆函数解等.Bticldund变换研究对非线性微分方程的可积性及精确解的求解都有十分重要的意义.特别是,一旦从B（?）cldund变换推导出解的非线性叠加公式,则仅通过代数运算就可构造微分方程的新解.我们借鉴已有的构造B（?）cklund变换的方法,提出了构造1+1维非线性演化方程一类自B（?）cklund变换的机械化算法,并结合吴文俊数学机械化思想,在计算机代数系统Maple上实现了该算法,其中的软件包AutoBT不仅可自动推导出输入方程的可能的特定类型的自B（?）cklund变换及相应的参数约束条件,还可自动推导出解的非线性叠加公式.第二部分研究非线性微分系统解析近似解的求解方法和算法.同伦分析方法是近几年发展起来的构造非线性系统解析近似解十分有效的方法.与摄动方法不同,同伦分析方法的有效性与所考虑的非线性问题是否含有小参数无关.此外,不同于所有其它传统的摄动方法和非摄动方法,如人工小参数法,δ展开方法和Adomian分解方法等,同伦分析方法本身提供了一种方便的途径来控制和调节解级数的收敛速度和收敛区域.同伦分析方法已被广泛应用于求解应用数学和力学中的许多问题.复合介质在物理学和工程领域随处可见,因此,复合介质的实验与理论研究受到了广泛的重视.摄动方法是求解弱非线性复合介质问题的有效工具.求解强非线性复合介质问题仍然非常困难,同伦分析方法的提出为强非线性问题的求解提供了有效的工具.文[85]和[86]分别应用同伦分析方法构造了强非线性复合介质问题的解析近似解,然而,为了计算简单,他们首先应用模式展开法将原系统简化为常微分系统,且只截取到第一模式项,这使所得的常微分系统与原系统之间存在较大的误差.为了提高解的精度,本文选取线性算子为线性偏微分方程,直接应用同伦分析方法构造原系统的解析近似解.所获结果明显优于已有的摄动解及同伦分析解.另外,本文也将同伦分析方法推广应用到分数阶微分方程情形.
任玉杰[10]（2007）在《非线性发展方程求解法的研究与数学机械化实现》文中研究表明本文根据数学机械化思想，以计算机符号和数值计算软件为工具，研究了孤立子理论中若干重要的非线性发展方程的求解方法及其相关问题，提出和发展了一系列求非线性发展方程解的方法，并在计算系统Maple或MATLAB上予以机械化实现。将数学机械化方法应用于相关学科，开发了数学机械化软件平台。主要的工作如下：第一章介绍了孤立子理论和非线性发展方程求解理论及其数学机械化研究的历史发展和现状。同时介绍了一些关于这些学科的国内外学者所取得的成果。第二章介绍了构造非线性发展方程精确解的“AC=BD”模式和构造“C-D”对的算法，利用Maple和“AC=BD+R”带余除法构造精确解的具体算法。第三章基于将非线性发展方程求解统一化，算法化，机械化的思想，运用吴方法和符号计算的工具，建立了广义双曲函数的理论，提出了求非线性发展方程的广义双曲函数解和研究解的长时间行态及其相关问题的一系列方法。主要内容如下：（1）给出广义双曲函数的定义和代数与微分性质及其证明，构造非线性发展方程解的广义双曲函数变换的定义和一些具体形式。（2）提出了广义双曲函数-B（?）cklund变换方法，将其应用于解非线性发展方程组，求出了许多新的更一般的精确解。用计算机数值模拟方法研究了一些解的长时间的行态，结果表明这些新解具有良好的长时间的稳定性。（3）提出了划分非线性发展方程的广义双曲函数解的长时间行态的三段法，并将其应用于研究一些非线性发展方程的广义双曲函数解的长时间稳定性，检验该方法的有效性。另外，还分别提出了修正广义双曲函数解和变系数解的长时间行态的方法。（4）根据WTC方法和齐次平衡法构造B（?）cklund变换的方法的思想，提出了一种构造B（?）cklund变换的方法及其机械化算法，并将该方法应用于构造一些高阶高维的非线性发展方程的B（?）cklund变换，检验了有效性和可靠性。另外，还提出了与该方法相关的定理，并给出了证明。（5）利用计算机数值模拟方法，广泛地研究了非线性发展方程的广义双曲函数解中的三个参数的不同取值对该解的局部性质和长时间行态的影响，一个非线性发展方程在同一种自-B（?）cklund变换下，取不同类型的种子解对该发展方程解的个数和解的形式的影响，不同类型的种子解对解的主部的影响，各种类型的广义双曲函数解的长时间行态，不同类型的非行波解和行波解的长时间行态的比较等问题，有一些新的发现，提出四个猜测。第四章以符号计算软件Maple为工具，发展了构造非线性发展方程精确解的改进的F-展开法和推广的射影-Riccati方程法，提出了如下方法及其定理：（1）构造了广义双曲函数-Riccati方程，提出了有关广义双曲函数-Riccati方程具有新的更一般的广义双曲函数解的定理、广义的射影Riccati方程和射影Riccati方程是广义双曲函数-Riccati方程的特例的定理，并且用Maple机械化方法给出了这两个定理的证明。（2）利用广义双曲函数-Riccati方程，提出了广义双曲函数-Riccati方法，并用该方法求出了非线性发展方程的新的更一般形式的解。（3）通过构造两类更一般的变换，提出了广义F-展开法和扩展的广义F-展开法。并将这些方法分别应用到一些非线性发展方程，结果成功地获得了这些方程的许多新的更一般的精确解。第五章构造更一般的变换，给出类N孤子解的定义和猜测5，发展了Exp-函数方法，提出了Exp-B（?）cklund变换方法和Exp-类N孤子方法。利用这两种新方法获得了一些非线性发展方程的包含行波解和非行波解的更一般形式的精确解，并用计算机数值模拟方法研究了这类解的长时间行态。第六章发展了求非线性发展方程的行波解的代数方法，提出了如下方法及其相关的定理：（1）提出了一般形式的变换和相关定理，然后用Maple机械化方法证明了该定理。（2）提出了求一阶任意次非线性常微分方程的精确解的机械化算法及其Maple程序，通过求六、八、十、十二次非线性常微分方程的某些一般形式的新的精确解，验证了该方法的有效性和可靠性。（3）利用一阶任意次非线性常微分方程及其新的精确解，提出了广义的代数方法和扩展的广义的代数方法，并将它们分别应用到一些非线性发展方程，结果得到许多新的行波解和非行波解。第七章改进了一些数值算法，提出了一类求非线性发展方程解的数值与解析混合运算的方法，求解常微分方程初值问题的改进的亚当斯方法等，提高了数值计算精度，并算法实现了机械化。另外，还提出了数值解、符号解、误差估计、输出结果图形可视化或表格化并举的设计数值计算机软件的新策略，开发了大量的数学计算机软件程序，建立了数值分析和高等数学的机械化软件MATLAB平台，使同类问题自动求解。
二、RATIONAL FORM SOLITARY WAVE SOLUTIONS FOR SOME TYPES OF HIGH ORDER NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、RATIONAL FORM SOLITARY WAVE SOLUTIONS FOR SOME TYPES OF HIGH ORDER NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS（论文提纲范文）
（1）几类非线性变系数偏微分方程的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景及意义 |
| 1.2 变系数偏微分方程介绍 |
| 1.3 研究方法综述 |
| 1.4 研究的主要内容 |
| 第二章 改进的Tanh双曲函数展开法及其应用 |
| 2.1 改进的Tanh双曲函数展开法的基本理论 |
| 2.2 变系数BBMB方程的求解 |
| 2.3 精确解的图像及分析 |
| 2.4 本章小节 |
| 第三章 第二种椭圆方程法及其应用 |
| 3.1 第二种椭圆方程法的基本理论 |
| 3.2 变系数Benny方程的求解 |
| 3.3 精确解图像及分析 |
| 3.4 本章小节 |
| 第四章 一般形式的Riccati方程法及其应用 |
| 4.1 一般形式的Riccati方程法的基本理论 |
| 4.2 广义变系数Hirota-Satsuma方程组的求解 |
| 4.3 精确解的图像及分析 |
| 4.4 本章小节 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 讨论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果 |
（2）几类偏微分方程的对称和动力学性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 非线性微分方程的研究概况 |
| 1.2 李对称理论 |
| 1.2.1 经典Lie对称 |
| 1.2.2 守恒律 |
| 1.2.3 最优化理论 |
| 1.3 分数阶微分方程理论 |
| 1.4 动力系统分支理论基础 |
| 1.5 选题及主要工作 |
| 2 (2+1)维Bogoyavlenskii方程Lie对称分析和守恒律 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Lie对称的应用 |
| 2.2.1 (2+1)维Bogoyavlenskii方程Lie对称分析 |
| 2.2.2 (2+1)维Bogoyavlenskii方程的对称约化和精确解 |
| 2.3 (2+1)维Bogoyavlenskii方程的守恒律 |
| 2.3.1 守恒律预备知识 |
| 2.3.2 Bogoyavlenskii方程的守恒律 |
| 2.4 本章小结 |
| 3 两类方程的最优系统研究 |
| 3.1 最优系统构建理论 |
| 3.1.1 Ovisiannikov理论 |
| 3.1.2 Olver理论 |
| 3.1.3 直接构造法理论 |
| 3.2 优化系统理论的运用举例 |
| 3.2.1 KdV-like方程的优化系统 |
| 3.2.2 KdV-like方程不变解及相似约化 |
| 3.3 Harry Dym方程的一维优化系统及相似约化 |
| 3.3.1 Harry Dym方程的一维优化系统 |
| 3.3.2 Harry Dym方程的不变解及相似约化 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 时间分数阶弱耦合Kaup-Kupershmidt方程的对称研究 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 分数阶微分算子的定义和性质 |
| 4.3 分数阶微分方程的李对称分析 |
| 4.4 时间分数阶弱耦合Kaup-Kupershmidt方程的Lie对称分析 |
| 4.5 时间分数阶弱耦合KK方程的精确显式解 |
| 4.6 本章小结 |
| 5 KdV-like方程动力学理论研究 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 奇异行波系统 |
| 5.3 方程(5.5)的分支和相图 |
| 5.4 方程(5.5)的精确行波解 |
| 5.4.1 方程(5.5)的分支和相图 |
| 5.4.2 δ=1/2时方程(5.5)的精确行波解 |
| 5.4.3 δ=0时方程(5.5)的精确行波解 |
| 5.4.4 δ=-1/3时方程(5.5)的精确行波解 |
| 5.4.5 δ=-1时方程(5.5)的精确行波解 |
| 5.4.6 δ=-2时方程(5.5)的行波解的存在性和显式精确解 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 总结与展望 |
| 6.1 论文的主要结论 |
| 6.2 工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间撰写的论文和研究成果 |
（3）一族新的微分方程的可积性和精确解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性微分方程的研究背景及现状 |
| 1.2 论文的主要工作及创新点 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 守恒律 |
| 2.2 经典的Darboux变换 |
| 2.3 同宿呼吸子极限法 |
| 2.4 双线性方法 |
| 第三章 一个新的微分方程族及其可积性研究 |
| 3.1 非线性演化方程族 |
| 3.2 无穷多守恒律 |
| 第四章 方程(1-2)的精确解研究 |
| 4.1 方程(1-2)的Darboux变换及精确解 |
| 4.2 同宿呼吸子极限法求怪波解 |
| 4.3 双线性方法求方程(1-2)的孤子解 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
（4）典型单双奇异线色散方程的孤子解及其稳定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究进展和现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 基本理论 |
| 2.1 孤立子理论中的主要研究方法 |
| 2.2 动力系统分叉理论的研究方法 |
| 2.3 椭圆函数 |
| 第三章 双组份α-DP方程(单奇异线)的孤立波解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 双组份系统的奇点类型判断及分叉曲线 |
| 3.3 相图分叉及行波解 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 双组份α-DP方程(双奇异线)的孤立波解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 双组份系统的奇点类型判断及分叉曲线 |
| 4.3 相图分叉及行波解 |
| 4.3.1 相图与行波解的判定 |
| 4.3.2 特殊条件下行波解的精确表达式 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 广义浸入色散K(2,2)方程的孤立波解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 首次积分与分支曲线 |
| 5.3 相图分析和各类行波解 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 广义色散项的DP方程的孤立波解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 首次积分与分支曲线 |
| 6.3 相图分析和各类行波解 |
| 6.4 小结 |
| 第七章 Schr?dinger方程在时滞扰动下扭波及反扭波解的稳定性 |
| 7.1 引言与预备知识 |
| 7.2 未扰系统的行波解 |
| 7.3 时滞扰动方程孤立波解的存在性 |
| 7.3.1 局部不变二维流形M_g的存在性 |
| 7.3.2 Melnikov函数的计算以及异宿轨的扰动存在性 |
| 7.4 小结 |
| 第八章 Schr?dinger方程在时滞扰动下周期解的稳定性 |
| 8.1 引言与预备知识 |
| 8.2 未扰系统的行波解 |
| 8.3 时滞扰动方程周期波解的存在性 |
| 8.3.1 局部不变二维流形M_g的存在性 |
| 8.3.2 Melnikov函数的计算以及周期轨的扰动存在性 |
| 8.4 小结 |
| 第九章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的学术成果 |
| 致谢 |
（5）非线性局域波及其动力学分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性局域波及其动力学研究 |
| 1.2 非线性局域波的求解方法及其研究 |
| 1.3 符号计算在非线性可积系统中的应用 |
| 1.4 本文的选题和主要工作 |
| 第2章 广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.1 广义双线性Backlund变换与非线性局域波的关系及其构造算法研究 |
| 2.2 3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.2.1 3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.2.2 3+1维非线性波方程的非线性局域波 |
| 2.3 广义3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.3.1 广义3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.3.2 广义3+1维非线性波方程的非线性局域波 |
| 2.4 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.4.1 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.4.2 4+1维Fokas方程的非线性局域波 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 Darboux变换及非线性局域波 |
| 3.1 Lax对与可积系统关系的符号计算算法研究及其实现 |
| 3.1.1 Laxpairtest程序包 |
| 3.1.2 Laxpairtest程序包应用实例 |
| 3.2 AB-NLS方程的Darboux变换 |
| 3.2.1 AB-NLS方程 |
| 3.2.2 AB-NLS方程的Darboux变换 |
| 3.3 AB-NLS方程的非线性波 |
| 3.3.1 AB-NLS方程的1-孤子解 |
| 3.3.2 AB-NLS方程的2-孤子解 |
| 3.4 AB-NLS方程的周期解 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 高维非线性系统的lump解及其动力学分析 |
| 4.1 4+1维Fokas方程的lump解 |
| 4.2 4+1维Fokas方程lump解的动力学分析 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 高维非线性系统的高阶怪波及其演化 |
| 5.1 一个新的符号计算方法 |
| 5.2 3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化 |
| 5.3 广义3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 KdV-SCS方程的若干非线性局域波解 |
| 6.1 KdV-SCS方程的双曲函数解 |
| 6.2 KdV-SCS方程的Jacobi椭圆函数解 |
| 6.3 KdV-SCS方程的(G'/G)-扩展法 |
| 6.3.1 (G'/G)-扩展法 |
| 6.3.2 KdV-SCS方程的(G'/G)-扩展法的应用 |
| 6.4 KdV-SCS方程的群不变解 |
| 6.5 KdV-SCS方程的Painleve性质 |
| 6.6 本章小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的科研成果 |
（6）修改的广义Riccati方程有理展开法求解非线性演化方程（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文研究的方法和几个方程简介 |
| 1.3 本文的研究意义与主要工作 |
| 第2章 Tanh和扩展tanh函数法求解修改的IBq方程 |
| 2.1 本章内容综述 |
| 2.2 Tanh函数法及其应用 |
| 2.2.1 Tanh函数展开法 |
| 2.2.2 Tanh函数法求解修改的IBq方程 |
| 2.3 扩展的tanh函数法及其应用 |
| 2.3.1 扩展的tanh函数展开法 |
| 2.3.2 扩展的tanh函数法求解修改的IBq方程 |
| 第3章 广义Riccati方程有理展开法与指数函数法 |
| 3.1 本章内容综述 |
| 3.2 广义Riccati方程有理展开法的主要思路与演化方程的求解 |
| 3.2.1 广义Riccati方程有理展开法的主要思路 |
| 3.2.2 广义Riccati方程的新解 |
| 3.2.3 广义Riccati方程有理展开法求解修正的BBM-Burgers方程 |
| 3.3 Exp-function方法 |
| 3.3.1 Exp-function方法的一般过程 |
| 3.3.2 Exp-function方法中非线性项与最高阶导数项归纳运算 |
| 3.3.3 用修改的Exp-function方法得到KdV方程新解的推导 |
| 第4章 修改的广义Riccati方程有理展开法及其应用 |
| 4.1 本章内容综述 |
| 4.2 修改的广义Riccati方程有理展开法与常系数演化方程求解 |
| 4.2.1 修改的广义Riccati方程有理展开法 |
| 4.2.2 修改的广义Riccati方程有理展开法求解KdV-mKdV方程 |
| 4.3 修改的广义Riccati方程有理展开法求解变系数KdV方程 |
| 第5章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（7）论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究数学史的新方法论 |
| §1.2 吴方法和吴消元法的发明 |
| §1.3 吴消元法与非线性发展方程的求解方法 |
| §1.4 本文的主要工作 |
| 第二章 概述吴消元法的发明历史 |
| §2.1 曲折的数学之路(1919年—1945年) |
| §2.2 吴文俊与拓扑学(1945年—1958年) |
| §2.3 研究"对策论"的中国第一人(1958年—1974年) |
| §2.4 吴文俊与研究数学史的新方法论(1974年—) |
| §2.5 简单回顾发明计算机的历史 |
| §2.6 简单回顾西方数学机械化思想的发展历史 |
| §2.7 吴文俊与数学机械化纲领(1976年—) |
| 第三章 简述建立孤子方程求解方法历史与孤立子理论的研究意义 |
| §3.1 简单回顾孤立子理论建立历史上的几件大事 |
| §3.2 概述非线性发展方程求解方法发展历史(1967年—现在) |
| §3.3 孤立子理论的研究意义 |
| 第四章 试探函数法的两大特点与非线性差分微分方程的新精确解 |
| §4.1 试探函数法的两大特点 |
| §4.2 试探函数法的扩展应用 |
| 第五章 辅助方程法的发展历史研究 |
| §5.1 "辅助方程法"思想 |
| §5.2 Riccati方程法与非线性发展方程的精确解 |
| §5.3 辅助方程法的思想基础与来源 |
| §5.4 辅助方程法两大特点与非线性发展方程的新精确解 |
| 第六章 辅助方程法的两大特点与非线性发展方程的无穷序列新精确解 |
| §6.1 辅助方程法两大特点的进一步研究 |
| §6.2 Riccati方程法的新应用 |
| §6.3 第二种椭圆辅助方程法的新应用 |
| §6.1 第二种椭圆辅助方程与Riccati方程相结合的方法与应用 |
| §6.5 三角函数型轴助方程法与双曲函数型辅助方程法的新应用 |
| §6.6 几种辅助方程的Backlund变换及其应用 |
| §6.7 第一种椭圆辅助方程与非线性发展方程的新类型无穷序列精确解 |
| §6.8 辅助方程法的发展阶段 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间获得的研究成果 |
| 致谢 |
（8）非线性演化方程精确解构造性理论与算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 孤立子研究的历史背景 |
| 1.3 孤立子类型和计算机符号计算 |
| 1.4 非线性演化方程精确解构造性理论与算法综述 |
| 1.5 本文的研究目的和主要内容 |
| 1.5.1 研究目的 |
| 1.5.2 主要内容 |
| 1.5.3 主要创新点 |
| 第2章 几个非线性演化方程的物理背景 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 几个非线性演化方程的物理背景 |
| 2.2.1 KdV 方程和BBM 方程 |
| 2.2.2 非线性Schr?dinger 方程 |
| 2.2.3 Zakharov 方程 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 扩展的范氏代数方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 原理及算法 |
| 3.3 应用举例 |
| 3.3.1 KdV 方程 |
| 3.3.2 变形Boussinesq 方程组 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 辅助微分方程法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 辅助微分方程法原理及算法 |
| 4.3 应用举例 |
| 4.3.1 组合KdV-mKdV 方程 |
| 4.3.2 (2+1)维 Broer-Kaup-Kupershmidt 方程 |
| 4.3.3 两类变系数KdV 方程 |
| 4.4 辅助微分方程直接应用原理及算法 |
| 4.5 应用举例 |
| 4.5.1 (1+1)维 Klein-Gordon 方程 |
| 4.5.2 (3+1)维 Kadomtsev-Petviashvili 方程 |
| 4.5.3 (2+1)维色散长波方程 |
| 4.5.4 耦合的Klein-Gordon-Zakharov 方程 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 任意次幂辅助微分方程法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 广义 Lienard 方程及其应用算法 |
| 5.3 应用举例 |
| 5.3.1 一维广义Klein-Gordon 方程 |
| 5.3.2 广义Ablowitz 方程 |
| 5.3.3 广义Gerdjikov-Ivanov 方程 |
| 5.4 任意次幂辅助方程法 |
| 5.4.1 任意次幂辅助方程及其精确解 |
| 5.4.2 任意次幂辅助方程算法之一 |
| 5.4.3 广义Zakharov 方程组的精确解 |
| 5.4.4 任意次幂辅助方程算法之二 |
| 5.4.5 广义Benjamin-Bona-Mahony 方程的精确解 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 扩展的 sinh-Gordon 方程展开法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 原理及算法 |
| 6.3 应用举例 |
| 6.3.1 (2+1)维 Konopelchenko–Dubrovsky 方程 |
| 6.3.2 KdV-m KdV 方程 |
| 6.3.3 双sine-Gordon 方程 |
| 6.3.4 Benjamin-Bona-Mahoney 方程 |
| 6.4 本章小结 |
| 第7章 离散耦合 Riccati 方程展开法 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 原理及算法 |
| 7.3 应用举例 |
| 7.3.1 一般格子方程 |
| 7.3.2 相对论的Toda 格子方程 |
| 7.3.3 (2+1)维 Toda 格子方程 |
| 7.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录 A 攻读学位期间发表论文目录 |
| 致谢 |
（9）微分方程解析解及解析近似解的符号计算研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文的选题和主要工作 |
| 第二章 构造非线性演化方程精确解的一般原理 |
| 2.1 Riccati方程方法 |
| 2.2 耦合的Riccati方程方法 |
| 2.3 三耦合的Riccati方程方法 |
| 2.4 其它方法 |
| 第三章 椭圆方程方法和软件包RAEEM |
| 3.1 椭圆方程方法的求解步骤 |
| 3.2 RAEEM的接口及使用 |
| 3.3 RAEEM的实现步骤及关键策略 |
| 3.4 RAEEM软件包的应用 |
| 3.5 一个非线性演化方程精确解的符号计算 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 非线性演化方程一类自B(?)cklund变换的自动推演 |
| 4.1 构造非线性演化方程自B(?)cklund变换的变分方法 |
| 4.2 构造B(?)cklund变换的线性组合算法 |
| 4.3 线性组合算法在Maple上的实现 |
| 4.4 软件包AutoBT的应用 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 同伦分析方法 |
| 5.1 同伦分析方法的基本原理 |
| 5.2 分数微积分 |
| 5.3 分数阶非线性微分方程的同伦分析解 |
| 第六章 静电场边值问题的解析近似解 |
| 6.1 方程和边界条件 |
| 6.2 研究背景 |
| 6.3 构造静电场边值问题同伦分析解的步骤 |
| 6.4 解的分析与比较 |
| 6.5 有效电导率 |
| 6.6 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 附录A 椭圆方程及其解 |
| 附录B 非线性代数方程组的吴文俊消元方法 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间完成的论文目录 |
| 参加的科研课题 |
（10）非线性发展方程求解法的研究与数学机械化实现（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 孤立子研究的历史和发展概况 |
| §1.2 非线性发展方程求解方法的研究与发展状况 |
| §1.3 数学机械化和数学软件的发展状况 |
| §1.4 本文的选题和主要工作 |
| 第二章 非线性发展方程求解的"AC=BD+R"理论及其应用 |
| §2.1 非线性发展方程求解的"AC=BD+R"理论及其应用 |
| §2.2 "AC=BD"理论中C-D对的构造方法 |
| §2.3 "AC=BD"理论中A的构造方法 |
| §2.4 解非线性发展方程的"AC=BD+R"的机械化方法 |
| 第三章 广义双曲函数-B(¨|a)cklund变换与广义双曲函数解的长时间行态 |
| §3.1 广义双曲函数和广义双曲函数变换的概念和性质 |
| §3.2 构造B(¨|a)cklund变换的算法及其机械化实现 |
| §3.3 广义双曲函数-B(¨|a)cklund变换方法及其机械化实现 |
| §3.4 广义双曲函数解的三个参数对该解的影响 |
| §3.5 非线性发展方程的广义双曲函数解的性质和长时间行态的划分方法 |
| §3.6 修正非线性发展方程的广义双曲函数解的长时间行态的三参数机械化修正方法 |
| §3.7 非线性发展方程解的长时间行态与变系数函数机械化修正方法 |
| 第四章 广义双曲函数-Riccati方法和(扩展的)广义F-展开法及其应用 |
| §4.1 非线性发展方程的广义双曲函数-Riccati方法和广义双曲函数-Riccati方程 |
| §4.2 广义双曲函数-Riccati方法在(1+1)维WBK方程中的应用 |
| §4.3 广义F-展开法及其在(2+1)维NNV方程中的应用 |
| §4.4 扩展的广义F-展开法及其在(2+1)维破裂孤子方程中的应用 |
| 第五章 Exp-类N孤子方法和Exp-B(¨|a)cklund变换方法及其应用 |
| §5.1 求高阶非线性发展方程精确解的Exp-B(¨|a)cklund变换方法及其发展 |
| §5.2 Exp-B(¨|a)cklund变换方法的应用及Exp-函数解的长时间的行态 |
| §5.3 求高阶非线性发展方程精确解的Exp-类N孤子方法及其发展 |
| §5.4 Exp-类N孤子方法在(2+1)维广义KdV-Burgers方程中的应用及其解的长时间行态 |
| 第六章 发展方程的(扩展的)广义代数方法与常微分方程的机械化算法及其应用 |
| §6.1 求一阶任意次非线性常微分方程精确解的机械化算法及其Maple程序 |
| §6,2 求非线性发展方程精确解的广义的代数方法与一阶六次非线性常微分方程的新解 |
| §6.3 用广义的代数方法求(2+1)维K-D方程的行波解和非行波解 |
| §6.4 用机械化方法求一阶任意次非线性常微分方程的精确解 |
| §6.5 扩展的广义代数方法及其在(1+1)维一般型均匀色散管理光纤系统方程中的应用 |
| 第七章 数学机械化方法的研究及其计算机软件的实现 |
| §7.1 建立数值分析机械化软件平台的设计策略、主导思想和技术要求及其要达到的目的 |
| §7.2 建立数值分析机械化软件平台的设计难点和解决方案及其实际效果 |
| §7.3 数值算法的改进和其他学科中数学机械化方法的研究及其计算机软件的实现 |
| §7.4 求非线性发展方程解的数值与解析混合运算方法及机械化实现 |
| 参考文献 |
| 在读博士期间发表的部分论文、着作、参加的课题和获奖情况 |
| 创新点摘要 |
| 致谢 |
四、RATIONAL FORM SOLITARY WAVE SOLUTIONS FOR SOME TYPES OF HIGH ORDER NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS（论文参考文献）
- [1]几类非线性变系数偏微分方程的精确解[D]. 张晓霞. 内蒙古工业大学, 2021(01)
- [2]几类偏微分方程的对称和动力学性质[D]. 王振立. 南京理工大学, 2020(01)
- [3]一族新的微分方程的可积性和精确解研究[D]. 郑真真. 郑州轻工业大学, 2020(07)
- [4]典型单双奇异线色散方程的孤子解及其稳定性研究[D]. 徐传海. 江苏大学, 2020(01)
- [5]非线性局域波及其动力学分析[D]. 申亚丽. 陕西师范大学, 2019(01)
- [6]修改的广义Riccati方程有理展开法求解非线性演化方程[D]. 范凯. 东北大学, 2014(08)
- [7]论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进[D]. 套格图桑. 内蒙古师范大学, 2011(10)
- [8]非线性演化方程精确解构造性理论与算法研究[D]. 杨先林. 湖南大学, 2008(08)
- [9]微分方程解析解及解析近似解的符号计算研究[D]. 柳银萍. 华东师范大学, 2008(11)
- [10]非线性发展方程求解法的研究与数学机械化实现[D]. 任玉杰. 大连理工大学, 2007(06)
标签：双曲函数论文; 线性系统论文; 非线性论文; matlab函数论文; 微分方程论文;