一、几类与Heisenberg群相关的函数空间和变分问题研究（论文文献综述）
于哲[1]（2021）在《几类偏微分方程的谱方法研究》文中提出偏微分方程数值解法被广泛应用于各个领域,这得益于计算机技术快速发展和流体力学、图像处理、微观物理等领域急剧增长的应用需求。主要数值算法包括有限差分法、有限元法、有限体积法、谱方法等等。本文利用谱方法求解两类分数阶偏微分方程与一类非线性Dirac方程组,同时给出算法收敛性分析与数值模拟。首先,提出一类具黏性项时空分数阶反应扩散方程,其中黏性项由时间与空间Riemann-Liouville分数阶导数复合项组成,并构建一类时空谱Petrov-Galerkin数值算法。针对于分数阶导数算子是非局部性,利用谱方法这一全局算法的特性求解分数阶偏微分方程更为“相得益彰”。对于分数阶算子奇异性,本文基于具奇异项的广义Jacobi函数构造谱方法数值格式。相比较于采用标准正交多项式逼近问题弱解,利用广义Jacobi函数能够减少因多项式族对奇异项过度逼近而产生冗余的计算量。对于分数阶导数算子为非自共轭算子导致的试探函数与解函数处于不同空间的性质,采用谱Petrov-Galerkin方法,利用不同基函数分别构造解函数与试探函数数值解格式,使得数值算法对解函数与试探函数更加契合。基于构建解函数与试探函数所对应基函数,利用Galerkin方法证明问题弱解存在唯一性,并由新构建的基函数正交性质,给出了此时空谱Petrov-Galerkin方法全局误差分析。数值实验中得到了谱收敛结果,同时基于算法精确性,经由数值解给出黏性项对流体扩散的影响。其次,构造一类时空谱Petrov-Galerkin数值格式分别求解时间分数阶三次与五次Korteweg-de Vrie s-B urger s方程。针对于解在时间方向上奇异性与空间方向光滑性,此算法分别在时间与空间方向上基于广义Jacobi函数与Legendre多项式构造基函数。对于此问题的非线性项,利用谱方法给出等价矩阵形式的数值格式,并由Newton迭代法求解系数矩阵得到数值解。利用基函数正交性质得到数值解在带有特殊权重Sobolev空间下的最佳误差逼近,并得出此谱方法理论收敛阶。数值实验得出算法收敛性与收敛阶,并验证了理论结果。最后,为解决非线性偏微分方程数值格式不稳定或条件稳定性,给出一类非线性Dirac方程组无条件稳定高效快速数值算法。对于一维问题,为避免有界区域逼近无界区域数值误差的产生,本文利用谱方法全局性的优势,基于Hermite函数族在空间无界区域内构建谱Galerkin数值格式。在时间方向上,为得到无条件稳定数值迭代格式,针对于梯度流类型非线性方程引入标量辅助变量法,利用标量消除非线性项带来的问题条件稳定性。为使算法达到二阶收敛,本文在时间方向数值离散过程中采用Crank-Nicolson格式迭代。非线性Dirac方程组具有能量守恒性质,相对于向后差分二阶迭代格式耗散性质,使用Crank-Nicolson格式在保证二阶收敛的同时也保证了离散能量守恒性,更适合数值解描述实际物理过程。误差分析证实此数值算法达到二阶收敛并具有无条件稳定性,在数值算例中验证空间方向上理论谱收敛阶与时间方向上收敛阶,并给出波二元碰撞与三元碰撞的数值模拟。同时,此数值算法可应用于二维非线性Dirac方程组,得到时间方向二阶收敛与空间方向谱收敛的性质。
安育成[2]（2020）在《几类退化椭圆型方程（组）的Liouville型定理及其解的性质》文中认为经典的Liouville定理指出在全空间上的有界调和函数一定是常数.近几十年来,Liouville定理被国内外学者广泛地研究和推广到各种方程（组）中.同时,该定理也被用于研究各类方程（组）解的存在性和不存在性（Liouville型定理）以及解的对称性和单调性等.另外,Heisenberg群上的次椭圆（Kohn-Laplacian）算子ΔH是典型的点点退化的椭圆型算子,在几何控制、非完整力学、金融数学、医学成像和理论物理等方面具有广泛的应用.本文主要基于截断函数技巧、先验估计、能量方法、不动点理论和非线性泛函分析理论等,研究Heisenberg群上的几类次椭圆方程（组）解的存在性和不存性以及一类次椭圆方程解的存在唯一性和对称性.主要具体工作如下:在第二章中,我们考虑如下Heisenberg群上的次椭圆不等式组:（?）和（?）这里ΔH是Heisenberg群Hn（n ≥ 1）上的次椭圆（Kohn-Laplacian）算子,hi（i=1,2,3）是非负函数,Ω（?）Hn是一个无界区域.在适当的假设条件下,利用能量方法、截断函数和分析技巧,证明上述两个次椭圆不等式组在全空间和半空间上都没有正解（Liouville型定理）.在第三章中,我们考虑如下带奇异非线性项的次椭圆方程:（?）其中Ω是Heisenberg群Hn（≥ 1）中的光滑有界区域,γ>0和h是非负函数.首先,我们利用Schauder不动点定理和逼近方法证明上述次奇异次椭圆方程解的存在性.其次,通过证明一个弱比较原理而获得其解的唯一性.进一步,根据解的唯一性和在结构性条件下,证明上述奇异次椭圆方程解的对称性.在第四章中,考虑Heisenberg群H1上带临界指数的Schrodinger-Poisson型次椭圆系统:（?）这里Ω是Heisenberg群H1上的光滑有界区域,1<q<2,μ ∈ R和λ>0.利用Green表示公式、集中紧性原理和临界点理论,当μ<S × meas（Ω）-1/2和λ足够小时,证明上述Schrodinger-Poisson型次系统至少存在两个正解和一个基态解.
王新敬[3]（2019）在《Heisenberg群上次椭圆方程和分数阶次椭圆方程解的性质》文中提出H（?）rmander于二十世纪六十年代给出了由向量场构成平方和算子的亚椭圆性的开创性结果,对退化椭圆偏微分方程的研究起到了很大的推动作用.Stein提出将齐次幂零Lie群上的分析用于研究偏微分方程的思想后,齐次幂零Lie群上偏微分算子的研究得到迅速发展,作为齐次幂零Lie群的特例Heisenberg群和其上的次Laplace算子研究受到众多学者的关注.本文研究了Heisenberg群与次椭圆算子和分数阶次椭圆算子对应的方程解的性质.全文主要由以下三部分组成:第一部分研究了Heisenberg群上带有奇异非线性项的次椭圆方程的Dirichlet问题.在给定有界凸对称区域,其边界满足Wiener准则及非线性项满足一定的假设条件时,我们将Dirichlet问题分解为两个易于处理的边值问题,分别得到它们的解的正则性及单调性,进而证明原问题解的单调性.第二部分考虑了Heisenberg群上分数阶CR（Cauchy-Riemann）协变算子对应的两类非线性方程.对其中一类非线性方程,借助于Heisenberg群上的延拓方法,通过构造辅助函数证明了Hopf引理和极值原理,使用CR反演和Heisenberg群上的移动平面方法建立了方程解的Liouville定理.对另一类非线性方程,我们分超临界和次临界情形来分别处理,利用已证的Hopf引理和推广的CR反演给出该方程延拓问题的Liouville型定理.第三部分我们对分数阶次Laplace方程,通过证明四个极值原理及给出Heisenberg群上的直接移动平面方法,得到了方程正解在次临界情形时的不存在性和临界情形时的对称性;研究了分数阶Schr（?）dinger方程的正解在无穷远处满足一定的假设条件下的对称性和单调性.对分数阶p-次Laplace方程,通过要求非线性项满足一定的假设条件,证明了解在超平面附近的估计,得到了方程解在全空间上的对称性和单调性,并利用狭窄区域极值原理,得到了方程在一类半空间上的Liouville型结果。
杜广伟[4]（2018）在《退化椭圆方程与方程组障碍问题弱解的正则性》文中指出退化椭圆障碍问题起源于机械工程,金融数学,图像重建等各种应用学科,是偏微分方程及其应用领域中研究的重要课题.本文主要研究由非交换向量场构成的退化椭圆障碍问题弱解的正则性,推广并改进了欧氏空间中的相关结果.主要工作如下:1.考虑Carnot群上具有VMO系数的p-Laplace型拟线性退化椭圆障碍问题弱解的CX1，α“正则性.首先基于齐次群上一致亚椭圆算子的Lp估计及Calderon-Zygmund理论证明了 Carnot群上非对角常系数p-Laplace型退化椭圆方程弱解梯度的上界估计.在此基础上,证明了在对系数不同的假设条件下弱解及其梯度的内部Holder正则性.利用类似的方法,还证明了 一类由Hormander向量场构成的非对角退化椭圆方程组障碍问题弱解的内部Holder正则性.2.研究齐次群上带漂移项的退化椭圆方程弱解的内部Holder正则性.由于不能建立带漂移项的Poincare不等式,首先借助Hormander算子的基本解建立弱解的表示公式证明了弱解的Sobolev型不等式进而得到了弱解梯度的高阶Lp估计.最后由弱解梯度的表示公式并利用奇异积分估计导出了弱解的内部Holder连续性.3.考虑由光滑Hormander向量场构成的非线性退化椭圆方程障碍问题很弱解的高阶可积性.首先,基于Carnot-Caratheodory空间中的Hardy-Littlewood极大函数的性质并结合障碍函数构造合适的试验函数并利用反向Holder不等式,得到了很弱解的局部高阶可积性.进一步,通过建立一个由容度刻划的Sobolev型不等式,证明了当区域Ω满足某容度条件假设时很弱解的全局高阶可积性.
程琨[5]（2017）在《几类非线性椭圆型方程变号解的存在性》文中研究指明本文主要研究几类非线性椭圆方程变号解的存在性,涉及到的方程包括含有临界指标的拟线性Schrodinger方程,含有分数次Laplacian的Kirchhoff型方程以及含有分数次Laplacian的非线性Choquard方程.本文共分四章:在第一章中,我们概述本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作及相关预备知识和一些记号.在第二章中,我们研究JRN中含临界指标的拟线性Schrodinger方程—div（g2（u）▽u）+ g（u）g’（u）|▽u|2 + V（x）u = K（u）,x ∈ RN,节点解的存在性,其中N≥ 3,g:R → R+是可微的偶函数.并且对任意的s ≥ 0,我们有g’（s）≥ 0.此外,我们还假定K:R →R是一个连续函数,位势函数V:R → R是一个正的径向对称函数.我们发现了上述拟线性Schrodinger方程的临界指标.进一步地,对任意正整数k ≥ 0,我们证明了该方程存在一个恰好变号kk次的节点解.在第三章中,我们研究含有分数次Laplacian算子的Kirchhoff型问题极小能量变号解的存在性及其渐近行为.其中s∈（0,1）,N>2s,a和b是两个正常数,位势函数V（x）∈ C（RN,R）是非负有正下界函数.利用约束变分的方法以及数量形变引理,我们证明了在适当的位势条件下,上述问题有一个极小能量变号解ub.进一步地,我们证明了该变号解的能量严格大于两倍的基态能量.作为这一章的一个附带结果,我们给出了当b（?）0时,ub的一个收敛性质.在第四章中,我们研究含有分数次Laplacian算子的非线性Choquard方程（-△）su+V（x）u=（Iα*|u|p）|u|p-2u,x∈RN,≥其中 s ∈（0,1）,N>2s,0<α<N,p∈（N+α/N,N+α/N-2s）,位势V ∈C（RN,R）是正函数并且满足适当的位势条件.Iα是如下定义在每一个点x∈{0}的Riesz位势（?）,其中（?）利用约束变分方法,我们证明了上述方程有一个非负的基态解.利用喷泉定理,我们证明了该方程有无穷多解.进一步地,当p∈（2,N+α/N-2s）,时,我们利用约束变分方法和数量形变引理证明了上述方程极小能量变号解的存在性.
何秀梅[6]（2016）在《关于几类非线性问题的单号解和变号解研究》文中认为本文主要使用变分方法和临界点理论研究几类非线性问题山路型单号解和变号解的存在性和多重性.全文共分为四章,第一章介绍一些背景知识和本文的研究内容,其余各章的主要内容分别为：第二章研究非线性Kirchhoff型方程非线性Kirchhoff型方程一直备受关注,在许多领域都有广泛的应用,据我们所知,现有的文献都是在有界区域Ω上研究其变号解.有别于此,我们在R3上研究该方程山路型正解、负解和变号解的存在性及无穷多山路型变号解的存在性.第三章研究非线性Schrodinger方程山路型单号解和变号解的存在性和多重性,当非线性项h满足适当的增长性条件和全局（AR）条件时,文献[22]研究了其变号解的存在性；文献[105]研究了其正解、负解和无穷多变号解的存在性.相异于文献[22]和[105],我们在局部（AR）条件和较弱的条件下研究了该方程山路型正解、负解和变号解的存在性及无穷多山路型变号解的存在性.这一章的结果改进了文献[22]和[105]中的结果.第四章分别研究拟线性椭圆方程拟线性Schrodinger方程和广义拟线性Schrodinger方程山路型正解、负解、变号解及无穷多变号解的存在性.由于拟线性项的存在使得上述问题的相应的能量泛函在其熟知的工作空间上没有定义,我们不能直接对其使用变分方法.为克服这一困难,我们首先使用变量替换的方法将其转化为半线性问题,然后以熟知的Sobolev空间作为相应变更泛函的工作空间,在适当的条件下得到其山路型正解、负解和变号解的存在性.进而,在非线性项h（x,t）关于第二变元是奇函数的情形下,得到其无穷多山路型变号解的存在性.
房祥东[7]（2014）在《变分法在拟线性薛定谔方程中的应用》文中进行了进一步梳理本文我们研究拟线性薛定谔方程：在关于V和g的不同假设下,我们通过变分法分别获得了多重解的存在性和单个非平凡解的存在性.本文结构如下：首先,第一章简要介绍问题的背景,本文结构和需要的相关知识.第二章假设g和V关于x1,…,xN是周期的,并且g关于“是奇的、“超二次”、次临界并满足单调条件.在这样的条件下,我们利用广义Nehari流形得到了无穷多对几何不同的解.第三章处理“渐近二次”情况.我们将广义Nehari流形方法作了改进,从而获得了无穷多对几何不同的解.粗略地说,我们可以证明Nehari流形与单位球面上的某个开集是同胚的,而且泛函限制在Nehari流形上的临界点对应泛函限制在该开集上的临界点,然后证明Palais-Smale序列的离散性,由此得出形变引理,最后由亏格理论证明了无穷多对解的存在性.第四章假设V和非线性项在无穷远处满足一个渐近估计,从而得到一个基态解.对于拟线性薛定谔方程,通常的变分法不适用于这种情况.为了克服这个困难,我们先证明Nehari流形是C1的,从而得一个Palais-Smale序列.最后推出了Palais-Smale序列的表示,从而获得了基态解的存在性.第五章假设位势V是变号的,在不同的条件下分别获得了非平凡解的存在性.具体来说,假设位势V的正部是有界的,其负部可以是无界的,在非线性部分加上一个小扰动项,从而获得了非平凡解的存在性.若位势V满足更强一些的条件,那么不需要扰动项,仍然可以得到非平凡解的存在性.第六章考虑渐近线性薛定谔方程.通过利用广义Nehari流形方法,我们证明了最小能量解和无穷多对几何不同解的存在性.
范丹丹[8]（2014）在《里斯对泛函分析的贡献》文中指出泛函分析是一门高度抽象性学科。从创始之初到发展为一门独立学科，匈牙利数学家里斯做出了突出贡献。里斯不仅受到法国学者抽象分析工作的启发，还受到以希尔伯特为首的积分方程研究的影响。他在特殊函数空间和抽象算子方面取得了显着成就，给出了泛函分析的基础定理。因此，里斯与巴拿赫等人共同奠定了泛函分析公理化的重要基础。本文在整理、分析文献的基础上，以里斯在不同时期得到的重要成果和研究思路为线索，结合泛函分析发展的历史，探究了他解决具体问题的方法。应用比较研究法，对比分析了里斯与同时期数学家在泛函分析方面的工作。主要结果如下：1.介绍了里斯的生平。展现了他严谨的治学理念和优雅的教学态度。2.概述了泛函分析创始的学术背景。⑴阿达玛、弗雷歇等人关于抽象分析的讨论，及希尔伯特关于积分方程的工作，共同孕育了泛函分析中的空间和算子概念。⑵勒贝格积分的产生极大扩充了函数空间的研究范围。在这些知识背景下，里斯对抽象理论和具体问题的统一做了充分的准备工作。3.探究了里斯在泛函分析创始期的贡献。以里斯—费舍尔定理、里斯表示定理、对偶理论和紧算子定理四大基本工作为切入点，对比分析了里斯与费舍尔、弗雷歇等人的工作。这些成果对泛函分析的后续发展产生了深远的影响。4.阐述了里斯在泛函分析独立发展期的贡献。⑴最先提出了里斯空间；⑵独立研究了自伴算子；⑶深入推广了遍历理论；⑷成就了《泛函分析讲义》这一划时代的着作。巩固了他在泛函分析历史上的地位。
罗鹏[9]（2014）在《无穷阶退化椭圆边值问题多解的存在性与正则性》文中提出本文主要研究无穷阶退化椭圆方程的多解性与解的正则性.本文共分五章,第一章介绍无穷阶退化椭圆算子和方程的背景和基本知识.第二、三章研究无穷阶退化向量场空间中的基本不等式和无穷阶退化椭圆算子的特征值估计,这些在无穷阶退化椭圆方程的研究中很重要.第四、五章,我们研究几类无穷阶退化椭圆方程解的存在性与多解性,有界性与正则性.具体如下：在第一章中,我们回顾有限阶退化椭圆算子和方程,叙述无穷阶退化椭圆算子和方程的相关知识与研究现状,最后介绍本文的主要工作和预备知识.在第二章中,我们回顾无穷阶退化向量场空间中的对数Sobolev不等式与Poincare不等式.同时我们建立某些无穷阶退化向量场空间上的Hardy不等式：这里Hx,01（Ω）为由向量场X诱导的加权Sobolev空间（具体见[61]）.在第三章中,我们研究无穷阶退化椭圆算子的特征值估计.若无穷阶退化向量场X=（X1,…,Xm）满足对数正则性估计：其中Δ=（e2+|（?）|2）1/2=<（?）>,s>1,△x=∑j=1mXj2.则无穷阶退化椭圆算子-△x的Dirich-let特征值有如下的下界估计：λk≥C（log k）2s,s为上述对数正则性估计中拟微分算子的阶数.接下来我们研究无穷阶退化椭圆方程解的性态：存在性与多解性,有界性与正则性.具体考虑以下几类无穷阶退化椭圆方程：（1）带Hardy位势情形.其中位势函数Vn（x）满足Hardy不等式,a,b∈R.（2）次线性对称扰动情形.其中g（z,u）=-g（x,-u）,|g（x,u）|≤c（1+|u|q-1）,1<g<2,a,b∈R.（3）自由扰动情形.其中f（x）∈L2（Q）,a,b∈R.（4）变号系数情形.其中a（x）∈C（Ω）为变号的.在第四章中,我们通过变分法理论中的极小极大方法,对称山路定理,Ekeland变分原理,扰动定理,Nehari流形分解等得到上述几类无穷阶退化椭圆方程解的存在性与多解性.在第五章中,我们通过迭代技巧和退化椭圆方程正则性提升理论考察上述几类方程弱解的有界性与正则性.
王昌[10]（2012）在《点集拓扑学的创立》文中研究表明点集拓扑学是研究和拓扑相关的空间结构以及定义在其上的映射的性质的一门数学学科,它不仅和数学中的许多分支有着紧密的联系,而且应用也十分广泛。因此,对点集拓扑学的历史进行研究,具有十分重要的理论价值和现实意义。本文在查阅大量原始文献以及相关的研究文献的基础之上,以“为什么数学”为切入点和主要目的,通过历史分析和文献考证的方法对点集拓扑学的创立过程进行了较为详细的研究。论文的特色之一就是结合了集合论、分析学以及公理化方法等背景。主要取得的成果如下：1.讨论了康托尔集合论思想的成因以及他在集合论方面的早期工作,对其在集合论方面的两部重要着作《一般集合论基础》和《对建立超穷数理论的贡献》进行了较为系统的研究,进而给出了点集拓扑学中的一些重要概念及定理的最初表述形式。2.对弗雷歇在引入度量空间的理论之前,和点集拓扑学理论发展相关的一些分析学中的具体问题做了深入细致的研究,即考察了点集拓扑学诞生过程中的分析学渊源。内容主要包括魏尔斯特拉斯在“分析的算术化运动”中的主要工作、黎曼提出流形概念的过程以及这一思想对点集拓扑学所产生的影响、沃尔泰拉,阿斯科利,阿尔泽拉,波莱尔等一些数学家对康托尔集合论的早期扩展。3.深入细致的研究了弗雷歇对点集拓扑学所作的重要贡献,对其度量空间的一般理论进行了详细考察。包括弗雷歇早先被忽视了的与其博士论文密切相关的六篇文章,同时对他的博十论文进行了较为深入的研究,对其度量空间一般理论的提出过程进行了分析。指出其博士论文不仅仅是对他早期相关工作的系统总结,而且还包含了许多突破性的工作。此外,对弗雷歇所从事的工作的思想进行了分析,认为他之所以能取得如此大的成功,是因为顺应了20世纪数学发展的主要趋势,即追求“统一性”和“一般性”4.提炼出了点集拓扑学诞生时期一些数学家的相关工作,通过探讨希尔伯特在积分方程以及《几何基础》中的有关工作、里斯所引入的建立在导集基础之上的拓扑空间、外尔关于黎曼面的研究以及杨夫妇在《点集理论》中的贡献,深入研究了点集拓扑学诞生的深刻背景,分析了这些先驱者们对豪斯道夫从事点集拓扑学研究所产生的影响。同时,对数学史上的一些问题进行了澄清。5.深入细致的分析了豪斯道夫的工作对点集拓扑学理论所做的变革与发展。紧密围绕豪斯道夫1914年的着作《集合论基础》,指出他是如何发展希尔伯特和外尔关于用公理化方法从事平面几何和黎曼面的研究,进而通过邻域的语言公理化的描述拓扑空间的概念。同时指明豪斯道夫是如何建立起一套系统完美的理论的,进一步说明了他的工作究竟在怎样的程度上为点集拓扑学的发展提供了强有力的动力。6.系统考察了点集拓扑学形成时期相关数学家的工作。通过比较相关数学家对于拓扑空间的定义,进一步反映了在点集拓扑学诞生初期,数学家们对拓扑空间的接受程度以及当时他们是如何处理拓扑空间概念的,同时对历史上的相关问题进行了澄清。此外,较为系统的探讨了对一些拓扑不变量的研究情况,并对当时所讨论的一些热点问题,如拓扑空间的可度量化问题也给予了介绍。进一步明确了点集拓扑学中的一些基本概念,思想的演变过程。
二、几类与Heisenberg群相关的函数空间和变分问题研究（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、几类与Heisenberg群相关的函数空间和变分问题研究（论文提纲范文）
（1）几类偏微分方程的谱方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究意义 |
| 1.2 偏微分方程数值方法的研究现状和分析 |
| 1.2.1 分数阶偏微分方程 |
| 1.2.2 非线性Dirac方程组 |
| 1.3 本文主要研究内容 |
| 第2章 一类具黏性项线性分数阶反应扩散方程的时空谱方法 |
| 2.1 预备知识及弱解格式 |
| 2.1.1 预备知识 |
| 2.1.2 弱解存在唯一性 |
| 2.2 时空谱Petrov–Galerkin方法 |
| 2.2.1 主要算法 |
| 2.2.2 误差分析 |
| 2.3 数值结果 |
| 2.3.1 L~2范数误差估计 |
| 2.3.2 H~k范数误差估计 |
| 2.3.3 黏性项数值模拟 |
| 2.4 存在唯一性证明 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 两类时间分数阶Korteweg–de Vries–Burgers方程的时空谱方法 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 时间分数阶三次Kd V–Burgers方程的谱方法 |
| 3.2.1 时空谱Petrov–Galerkin方法 |
| 3.2.2 误差分析 |
| 3.3 时间分数阶五次Kd V–Burgers方程的谱方法 |
| 3.3.1 时空谱Petrov–Galerkin方法 |
| 3.3.2 误差分析 |
| 3.4 数值结果 |
| 3.4.1 时间分数阶三次Kd V–Burgers问题 |
| 3.4.2 时间分数阶五次Kd V–Burgers问题 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 一类非线性Dirac方程组的能量守恒谱方法 |
| 4.1 问题及能量守恒性 |
| 4.2 SAV/CN方法 |
| 4.3 Hermite谱Galerkin方法 |
| 4.4 误差分析 |
| 4.4.1 Hermite谱Galerkin方法 |
| 4.4.2 SAV/CN–Hermite谱Galerkin方法 |
| 4.5 二维Dirac问题 |
| 4.6 数值结果 |
| 4.6.1 一维非线性Dirac方程组误差 |
| 4.6.2 驻波解误差及收敛阶 |
| 4.6.3 二维非线性Dirac方程组误差 |
| 4.7 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（2）几类退化椭圆型方程（组）的Liouville型定理及其解的性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 Heisenberg群简介 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 Liouville型定理研究概况 |
| 1.2.2 奇异椭圆方程研究概况 |
| 1.2.3 Schr?dinger-Poisson型系统研究概况 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 本文相关符号说明 |
| 1.4.2 相关定义和引理 |
| 2 一类次椭圆不等式(组)的Liouville型定理 |
| 2.1 Liouville型定理 |
| 2.2 Liouville型定理的证明 |
| 3 一类奇异次椭圆方程的Dirichlet问题 |
| 3.1 解的存在唯一性及其对称性结果 |
| 3.2 奇异次椭圆方程的逼近问题 |
| 3.3 主要结果的证明 |
| 4 一类Schr?dinger-Poisson型次椭圆系统解的存在性 |
| 4.1 主要结果 |
| 4.2 u_ε的估计及其变分框架 |
| 4.2.1 u_ε的估计 |
| 4.2.2 变分框架 |
| 4.3 主要结果的证明 |
| 4.3.1 第一个正解的存在性 |
| 4.3.2 第二个正解的存在性 |
| 4.3.3 基态解的存在性 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
（3）Heisenberg群上次椭圆方程和分数阶次椭圆方程解的性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和研究意义 |
| 1.2 本文研究内容和主要结果 |
| 1.3 本文的研究方法和创新点 |
| 第二章 Heisenberg群上带奇异非线性项次椭圆方程解的性质 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 逼近问题解的正则性 |
| 2.4 解u_0的性质 |
| 2.5 解的单调性 |
| 第三章 Heisenberg群上分数阶CR协变方程的Liouville定理 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 CR反演 |
| 3.4 Hopf引理和极值原理 |
| 3.5 Liouville定理 |
| 第四章 Heisenberg群上与分数阶CR协变算子有关的延拓问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 推广的CR反演 |
| 4.4 延拓问题的Liouville定理 |
| 第五章 Heisenberg群上分数阶次Laplace方程的移动平面方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.3 极值原理 |
| 5.4 分数阶次Laplace方程解的性质 |
| 5.5 分数阶Schr(?)dinger方程解的对称和单调性 |
| 第六章 Heisenberg群上分数阶p-次Laplace方程解的性质 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 预备知识 |
| 6.3 极值原理和超平面附近估计 |
| 6.4 分数阶p-次Laplace方程解的对称和单调性 |
| 6.5 一类半空间上的Liouville性质 |
| 第七章 结束语 |
| 7.1 全文总结 |
| 7.2 有待进一步研究的问题 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文和参加的科研项目 |
（4）退化椭圆方程与方程组障碍问题弱解的正则性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 椭圆与退化椭圆障碍问题解的正则性研究进展 |
| 1.1.1 欧氏空间中椭圆障碍问题弱解的正则性 |
| 1.1.2 欧氏空间中椭圆方程(组)及其障碍问题很弱解的性质研究 |
| 1.1.3 退化椭圆方程(组)及其障碍问题弱解的内部正则性 |
| 1.2 带漂移项的退化椭圆方程及其障碍问题研究进展 |
| 1.3 本文的研究内容与方法 |
| 1.4 本文的创新点 |
| 第二章 Carnot群上p-次拟线性退化椭圆障碍问题的内部正则性 |
| 2.1 引言及主要结果 |
| 2.2 Carnot群的相关知识 |
| 2.3 齐次障碍问题弱解的高阶可积性和Morrey型估计 |
| 2.4 非齐次障碍问题弱解的C_X~(0，α)正则性 |
| 2.5 非齐次障碍问题弱解的C_X~(1,α)正则性 |
| 第三章 齐次群上带漂移项二阶退化椭圆方程弱解的内部正则性 |
| 3.1 引言及主要结果 |
| 3.2 齐次群的相关知识和引理 |
| 3.3 弱解的高阶L~p估计 |
| 3.4 主要结果的证明 |
| 3.4.1 弱解的Morrey估计 |
| 3.4.2 弱解的H?lder估计 |
| 第四章 非线性退化椭圆方程障碍问题很弱解的高阶可积性 |
| 4.1 引言及主要结果 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.2.1 H?rmander向量场 |
| 4.2.2 Hardy-Littlewood极大函数 |
| 4.2.3 厚度条件 |
| 4.3 很弱解的局部高阶可积性 |
| 4.4 很弱解的紧性 |
| 4.5 很弱解的全局高阶可积性 |
| 第五章 非对角二阶退化椭圆方程组障碍问题弱解的内部正则性 |
| 5.1 引言及主要结果 |
| 5.2 与H?rmander向量场相关的几类函数空间 |
| 5.3 齐次方程组障碍问题弱解的高阶可积性和Morrey型估计 |
| 5.4 主要定理的证明 |
| 第六章 结束语 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 有待进一步研究的问题 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文和参加的科研项目 |
| 致谢 |
（5）几类非线性椭圆型方程变号解的存在性（论文提纲范文）
| 内容摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题的背景及研究现状 |
| 1.2 本文的记号 |
| 1.3 本文用到的定义及引理 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 1.5 结构安排 |
| 第二章 R~N中含有临界指标的拟线性Schrodinger方程节点解的存在性 |
| 2.1 问题的提出及其主要结果 |
| 2.2 预备引理 |
| 2.3 正解的存在性 |
| 2.4 约束问题的极小子 |
| 2.5 证明主要结果 |
| 第三章 含有分数次Laplacian的Kirchhoff型问题的变号解的存在性及其渐近行为 |
| 3.1 问题的提出及主要结果 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 约束问题的极小子 |
| 3.4 证明主要结果 |
| 第四章 含有分数次Laplacian的非线性Choquard方程的若干结论 |
| 4.1 问题的提出及主要结果 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 定理4.1.2和定理4.1.3的证明 |
| 4.4 定理4.1.4的证明 |
| 参考文献 |
| 研究生期间已发表和待发表的论文 |
| 致谢 |
（6）关于几类非线性问题的单号解和变号解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 记号和约定 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文的工作 |
| 第二章 Kirchhoff型方程的变号解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备定理 |
| 2.3 主要定理的证明 |
| 第三章 一类非线性Schrodinger方程 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要定理的证明 |
| 第四章 拟线性问题的变号解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 在有界区域上的拟线性椭圆方程 |
| 4.2.1 对偶变分框架及初步结果 |
| 4.2.2 主要定理的证明 |
| 4.3 在R~N上的拟线性Schrodinger方程 |
| 4.3.1 对偶变分框架及基本结果 |
| 4.3.2 主要定理的证明 |
| 4.4 广义拟线性Schrodinger方程 |
| 4.4.1 基本引理 |
| 4.4.2 主要定理的证明 |
| 参考文献 |
| 发表文章目录 |
| 致谢 |
（7）变分法在拟线性薛定谔方程中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| CONTENTS |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 背景与意义 |
| 1.2 问题现状 |
| 1.3 本文结构 |
| 1.4 预备知识 |
| 2 拟线性薛定谔方程的多重解：“超二次”情形 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 定理与证明 |
| 3 拟线性薛定谔方程的多重解：“渐近二次”情形 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 定理与证明 |
| 4 拟线性薛定谔方程的基态解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 定理与证明 |
| 5 拟线性薛定谔方程的非平凡解：变号位势情形 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 定理与证明 |
| 5.2.1 非平凡解的存在性：具有小扰动项情形 |
| 5.2.2 非平凡解的存在性：没有小扰动项情形 |
| 6 渐近线性薛定谔方程的多重解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 定理与证明 |
| 7 结论与展望 |
| 结论 |
| 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间科研项目及科研成果 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（8）里斯对泛函分析的贡献（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 1 泛函分析的奠基人——里斯 |
| 1.1 里斯生平 |
| 1.2 泛函分析创立的背景 |
| 1.2.1 弗雷歇为首的抽象分析论 |
| 1.2.2 希尔伯特为首的积分方程论 |
| 1.2.3 勒贝格积分的引入 |
| 2 里斯在泛函分析创始期的贡献 |
| 2.1 里斯—费舍尔定理 |
| 2.1.1 里斯对定理的证明 |
| 2.1.2 费舍尔对定理的证明 |
| 2.1.3 定理产生的影响 |
| 2.2 里斯表示定理 |
| 2.2.1 里斯对表示定理的推广 |
| 2.2.2 矩量问题与斯蒂尔杰斯积分 |
| 2.2.3 里斯表示定理的后续发展 |
| 2.3 对偶理论 |
| 2.3.1 对偶空间 |
| 2.3.2 里斯在对偶理论中的工作 |
| 2.4 里斯紧算子定理 |
| 3 里斯在泛函分析独立期的贡献 |
| 3.1 里斯空间的提出 |
| 3.2 自伴算子的研究 |
| 3.3 遍历理论的推广 |
| 3.4 划时代的着作——《泛函分析讲义》 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（9）无穷阶退化椭圆边值问题多解的存在性与正则性（论文提纲范文）
| 博士生自认为的论文创新点 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 有限阶退化椭圆算子和方程 |
| 1.2 无穷阶退化椭圆算子和方程 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.4 预备知识 |
| 第二章 无穷阶退化空间上的基本不等式 |
| 2.1 对数Sobolev不等式 |
| 2.2 Poincare不等式 |
| 2.3 Hardy不等式 |
| 第三章 无穷阶退化椭圆算子的Dirichlet特征值估计 |
| 3.1 特征值问题研究背景现状 |
| 3.2 特征值下界估计 |
| 第四章 无穷阶退化椭圆方程解的存在性与多解性 |
| 4.1 带Hardy位势情形 |
| 4.2 次线性对称扰动情形 |
| 4.3 自由扰动情形 |
| 4.4 变号系数情形 |
| 第五章 无穷阶退化椭圆方程解的有界性与正则性 |
| 5.1 弱解的L~p估计 |
| 5.2 弱解的C~∞正则性 |
| 参考文献 |
| 博士期间完成的论文 |
| 致谢 |
（10）点集拓扑学的创立（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 第一章 康托尔的集合论 |
| 1.1. 康托尔在集合论方面的早期工作 |
| 1.1.1. 康托尔集合论思想的起源 |
| 1.1.2. 康托尔对三角级数表示唯一性的处理 |
| 1.1.3. 关于无穷集的分类 |
| 1.2. 康托尔的《一般集合论基础》 |
| 1.2.1. 超穷数的引入 |
| 1.2.2. 有关良序集的研究 |
| 1.2.3. 无理数理论 |
| 1.3. 康托尔的《对建立超穷数理论的贡献》 |
| 1.3.1. 《对建立超穷数理论的贡献》的第一部分 |
| 1.3.2. 《对建立超穷数立论的贡献》的第二部分 |
| 1.4. 小结 |
| 第二章 分析中的相关问题 |
| 2.1. 分析的算术化：魏尔斯特拉斯 |
| 2.1.1. 魏尔斯特拉斯的“病态函数” |
| 2.1.2. ε-δ语言 |
| 2.2. 黎曼的贡献 |
| 2.2.1. 流形概念的起源 |
| 2.2.2. 黎曼的流形思想 |
| 2.2.3. 黎曼的工作对拓扑学的影响 |
| 2.3. 集合论的早期扩展 |
| 2.3.1. 变分法的影响 |
| 2.3.2. 函数空间的收敛问题：阿斯科利,阿尔泽拉 |
| 2.3.3. 波莱尔的相关工作 |
| 第三章 弗雷歇度量空间的一般理论 |
| 3.1. 弗雷歇抽象空间理论的开始 |
| 3.1.1. 第一篇注解 |
| 3.1.2. 第二篇注解 |
| 3.1.3. 第三篇注解 |
| 3.1.4. 第四篇注解 |
| 3.1.5. 两篇研究论文 |
| 3.2. 弗雷歇1906年的博士论文 |
| 3.2.1. 博士论文的第一部分 |
| 3.2.2. 博士论文的第二部分 |
| 3.3. 小结 |
| 第四章 豪斯道夫思想的发端 |
| 4.1. 希尔伯特的贡献 |
| 4.1.1. 希尔伯特空间的引入 |
| 4.1.2. 《几何基础》中的邻域公理 |
| 4.2. 里斯在点集拓扑学方面的工作 |
| 4.3. 外尔对黎曼而的研究 |
| 4.4. 杨夫妇的《点集理论》 |
| 4.5. 小结 |
| 第五章 豪斯道夫的变革与发展 |
| 5.1. 《集合论基础》前六章内容概述 |
| 5.2. 豪斯道夫对拓扑空间的研究 |
| 5.2.1. 邻域公理 |
| 5.2.2. α-点,β-点,γ-点 |
| 5.2.3. 拓扑空间中序列的六种极限 |
| 5.2.4. 连通性；紧性 |
| 5.3. 特殊空间中的点集理论 |
| 5.3.1. 第一和第二可数性公理 |
| 5.3.2. 集空间 |
| 5.3.3. 完备度量空间 |
| 5.4. 同胚映射 |
| 5.5. 小结 |
| 第六章 点集拓扑学理论体系的形成 |
| 6.1. 拓扑空间概念 |
| 6.1.1. 拓扑空间概念的发展演变 |
| 6.1.2. 几种拓扑空间概念的比较 |
| 6.2. 构造新空间 |
| 6.3. 对拓扑不变性的研究 |
| 6.3.1. 分离性 |
| 6.3.2. 连通性 |
| 6.3.3. 紧性 |
| 6.3.4. 维数 |
| 6.3.4.1. 曲线定义的讨论 |
| 6.3.4.2. 维数概念的讨论 |
| 6.3.4.3. 小结 |
| 6.4. 拓扑空间的度量化问题 |
| 6.5. 小结 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 附图 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文和参加的学术活动 |
| 致谢 |
四、几类与Heisenberg群相关的函数空间和变分问题研究（论文参考文献）
- [1]几类偏微分方程的谱方法研究[D]. 于哲. 哈尔滨工业大学, 2021
- [2]几类退化椭圆型方程（组）的Liouville型定理及其解的性质[D]. 安育成. 南京理工大学, 2020(01)
- [3]Heisenberg群上次椭圆方程和分数阶次椭圆方程解的性质[D]. 王新敬. 西北工业大学, 2019(04)
- [4]退化椭圆方程与方程组障碍问题弱解的正则性[D]. 杜广伟. 西北工业大学, 2018(02)
- [5]几类非线性椭圆型方程变号解的存在性[D]. 程琨. 华中师范大学, 2017(12)
- [6]关于几类非线性问题的单号解和变号解研究[D]. 何秀梅. 云南大学, 2016(01)
- [7]变分法在拟线性薛定谔方程中的应用[D]. 房祥东. 大连理工大学, 2014(07)
- [8]里斯对泛函分析的贡献[D]. 范丹丹. 河北师范大学, 2014(09)
- [9]无穷阶退化椭圆边值问题多解的存在性与正则性[D]. 罗鹏. 武汉大学, 2014(06)
- [10]点集拓扑学的创立[D]. 王昌. 西北大学, 2012(01)