一、一类三维Minkowski空间中的曲线（论文文献综述）
何佳毅[1]（2021）在《时间序列的结构复杂性及相似性研究》文中提出传统的时间序列分析往往以线性和平稳性为假设和前提,然而,现实世界中非线性非平稳的时间序列是客观、普遍存在的.现实世界由复杂系统相互制约、相互依赖形成,人们通常难以直接通过表象化的特征获取各复杂系统的潜在原理和运行机制.非线性非平稳的时间序列作为复杂系统信息的重要载体,是了解复杂系统的重要渠道.其中,基于时间序列结构层面的复杂性研究和相似性度量可以为探究复杂系统的内在机制和相互关系提供重要参考,这也是本文的主要研究方向.本文基于概率分布和信息熵理论,以时间序列的动力学结构特征为切入点,提出了q阶样本熵曲线均值（qSampEnAve）、q阶样本熵曲线熵差均值（qSEDiffAve）、全局递归量化分析（GRQA）、动态香农熵（DySEn）、基于交叉置换分布熵的概率密度加权距离（PID）和基于Kronecker-delta算子的改进多维标度法（MDSK）等新的度量指标和方法对时间序列结构层面的复杂性、相似性进行研究,以揭示系统存在的非线性、混沌性、无序性、不确定性等特征,为探索复杂系统的内在机制和演化特征提供重要线索和依据.本文研究内容主要包括以下四个方面:1.本文提出了基于Tsallis熵的q阶样本熵曲线均值（qSampEnAve）,并将它用于衡量序列的无序性.该方法考虑了所有可能阈值下的样本熵并以均值作为最终度量指标,比传统样本熵涵盖信息更完整.研究表明,序列越无序,qSampEnAve值越高.在qSampEnAve基础上,我们进一步提出了q阶样本熵曲线熵差均值（qSEDiffAve）,通过量化结构化序列与随机序列的信息量差异来衡量序列结构复杂性.研究表明,在该指标下,介于有序和无序中间状态的混沌序列具有较高的结构复杂性,而完全无序的随机序列和完全有序模式下的序列结构复杂性都相对较低.我们应用qSEDiffAve方法对充血性心力衰竭患者（CHF）,房颤患者（AF）和健康个体的心跳间隔序列进行分析.结果表明,健康个体的心跳间隔序列具有较高的结构复杂性,而具有随机特征的AF患者的心跳间隔序列和较为规律的CHF患者的心跳间隔序列结构复杂性均较低.2.本文提出了全局递归量化分析（GRQA）的概念,通过量化不同阈值下的递归图（RP）结构信息,可得到各统计量随重现阈值变化的曲线,从而直观地分析比对不同序列的结构差异.传统的递归量化分析（RQA）通常只研究某一确定阈值下的递归结构,阈值的选取直接影响分析结果.GRQA通过考虑所有阈值得到了更全面的结构信息,比传统RQA的单一值结果更可靠,因此本方法也是对传统RQA的重要补充.研究表明,重现率（RR）曲线反应出阈值对递归结构丰富性具有重要影响,尤其对于非周期序列,递归结构丰富程度随阈值变化迅速,进一步表明依赖于单一阈值的传统递归量化分析可能会导致结果存在偏差.基于垂直（水平）结构的层状度（LAM）反应了序列的稳定性,基于对角线结构的确定性曲线（DET）体现了序列的确定性,Rényi熵曲线（RENTR）反应了对角线结构的丰富程度,这些曲线能够从细节上区分不同序列的结构特征变化,这是传统RQA无法实现的.在金融数据的GRQA分析中发现,恒生指数（HSI）同时具有上证综指（SSE）、深圳成指（SZSE）、美国纳斯达克指数（NASDAQ）和美国道琼斯指数（DJI）的动力学结构特征,揭示了中国香港地区金融市场环境的多元化背景.3.本文提出了置换分布熵（PDE）的概念,通过关注重构相空间下各状态向量的波动模式来讨论序列动力学结构特征.PDE方法能够感知复杂时间序列的局部周期变化,周期性越强则PDE值越高.因此,该方法是反应序列结构变化的重要参考指标.在此基础上,我们进一步提出了两个度量来研究时间序列的结构复杂性和相似性:（1）我们根据PDE的特性,结合香农熵提出了动态香农熵（DySEn）,我们将该方法与滑动窗口结合后用于异常检测,当DySEn>0.6时即定义为异常区域.研究表明,DySEn方法能够识别出随机序列、混沌序列、周期序列及其混合序列的局部波动变化,且识别能力与异常区域是否肉眼可见无关,与被检测序列是否具有周期性无关,与异常区域是否为周期信号无关.该方法同时具有香农熵和PDE的特点,且即使在这两种方法对异常没有响应的情况下,DySEn依然能够准确识别出异常区域.我们将该方法应用于铁路轨道数据波磨检测,研究证实,DySEn对波磨数据检测具有重要的指导意义.（2）我们提出了基于交叉置换分布熵的概率密度加权距离（PID）,通过引入惩罚参数PIPE解决了分布函数对称所引发的熵值计算问题,大大提高了复杂序列间相似性度量的准确性.研究表明,PID方法优于传统的欧式距离以及去趋势交叉相关分析（DCCA）,性能稳定,具有抗噪性,并且参数对方法可靠性没有显着影响,是度量复杂时间序列相似性的可靠指标.我们将该方法用于股票数据分析,可得到与实际金融市场环境吻合的聚类结果.4.本文提出了基于KrD距离的改进多维标度法（MDSK）.该方法通过定义基于序列结构相似性的新的距离度量KrD来衡量序列间的距离,比传统的欧式距离更适用于复杂时间序列.研究表明,该方法能够更有效地实现对不同复杂序列的聚类,具有抗噪性.该方法在低维空间的呈现效果及拟合优度远超过传统的MDS方法和基于其他常见距离度量或相似性度量的多维标度法.此外,在研究中发现,我们提出的PID方法也能够为多维标度法在非线性复杂时间序列研究领域的拓展提供重要参考.
刘通昌[2]（2021）在《三维Minkowski空间中特殊类光Cartan曲线与混合型曲线的微分几何》文中研究表明本文主要研究了三维Minkowski空间中的特殊类光Cartan曲线和混合型曲线的微分几何.一般螺线是微分几何中的重要研究对象,在三维欧氏空间中关于它的构造问题已被Izumiya等人彻底解决.由于曲线的切向量的类型不同,三维Minkowski空间中存在非类光一般螺线和类光螺线.非类光一般螺线与欧氏空间中的一般螺线类似,它的构造问题也已被解决.而类光螺线却与欧氏空间中的一般螺线有着本质的不同,据我们所知,关于类光螺线由平面曲线构造的问题一直没有被解决.在前人工作的基础上,我们提出了用特殊平面曲线构造类光螺线的方法,建立起了平面曲线与类光螺线间的联系.我们又进一步研究了与其相关的Cartan斜螺线和类光锥面测地线以及类光Darboux可展和类光单位Darboux可展的性质,建立起了这些特殊类光曲线与可展曲面之间的联系,并运用奇点理论的知识对上述的特殊可展曲面的奇点进行了分类.在Minkowski空间中,非类光曲线和类光曲线都是比较常见的正则曲线,对此,前人已经做了大量研究工作并获得了丰硕的成果.非类光曲线只含有非类光点,类光曲线则只含有类光点,而混合型曲线是一种同时含有类光点和非类光点的正则曲线,它是Minkowski空间中更为一般化的正则曲线.对于非类光曲线和类光曲线,我们可以分别运用Frenet标架和Cartan标架去进行研究.而对于混合型曲线,由于类光和非类光点的同时存在以至于Frenet标架和Cartan标架都会失效.因此,关于混合型曲线的研究工作少之又少且困难重重,直到2018年Minkowski平面中的混合型曲线的研究才有所进展.但在三维Minkowski空间中,混合型曲线的研究基本处于空白状态,甚至缺乏最基本的研究工具.据我们所知,到目前为止在该研究领域还没有学者提出较为有效的研究方法.为了解决这个问题,我们构造了三维Minkowski空间中的光锥标架,为三维Minkowski空间中混合型曲线的研究提供了有效工具,并利用此标架建立和证明了三维Minkowski空间中混合型曲线的基本定理.同时,作为光锥标架的一个应用,我们构造出了三维Minkowski空间中混合型曲线的渐屈线.本文结构安排如下:第一章,介绍了奇点理论的的研究背景和研究现状,以及本文的研究内容和结构.第二章,介绍了三维Minkowski空间中的基本概念和一些重要结论,以及三维Minkowski空间中非类光曲线和类光曲线的标架.第三章,研究了三维Minkowski空间中的特殊类光Cartan曲线和相关可展曲面,首先给出了用特殊的平面曲线去构造类光螺线的方法,然后研究了Cartan斜螺线和类光锥面测地线的性质,最后研究了类光Darboux可展和类光单位Darboux可展的奇点分类以及与上述特殊类光Cartan曲线之间的关系.第四章,研究了三维Minkowski空间中的混合型曲线,构造出了三维Minkowski空间中的光锥标架,并利用此标架建立和证明了三维Minkowski空间中的混合型曲线的存在唯一性定理.同时,作为光锥标架的应用,我们构造出了混合型曲线的渐屈线.
朱小莹[3]（2021）在《三维Minkowski空间中广义Biconservative曲面的分类》文中研究说明Minkowski空间是爱因斯坦提出的相对论的时空模型,一直以来备受数学家和物理学家的关注.由于度量的不定性,Minkowski空间的曲面种类更加繁多,其几何性质相对于欧氏空间更加丰富.Biconservative曲面是指满足平均曲率的梯度方向是主方向的一类曲面.这类曲面包含了经典的双调和曲面.本文重点研究了三维Minkowski空间中一类广义Biconservative曲面（简称为GB曲面）,即满足grad H=k H（k∈R）的曲面.这类曲面是Biconservative曲面的自然推广,也是双调和曲面的推广.本文对这类曲面的几何性质和分类问题进行深入的探讨.本文第1章是引言部分,介绍Biconservative曲面的研究进展.第2章回顾三维Minkowski空间中曲面论的一些基础知识,基本公式和几类经典的旋转曲面.同时给出广义Biconservative曲面的定义,并且证明了:三维Minkowski空间中的广义Biconservative曲面必为线性Weingarten曲面.第3章研究三维Minkowski空间中类空广义Biconservative曲面的分类问题.通过选取恰当的标架场,利用结构方程得到相应的微分方程,通过探讨微分方程的解给出曲面的显式参数表示.一共得到7种类空的广义Biconservative曲面.第4章深入探讨三维Minkowski空间中类时的广义Biconservative曲面.由于类时曲面的度量是不定的,其分类结果更加丰富.一共得到11种类时曲面,其中包含一类具有非常平均曲率的null scroll曲面.同时,我们也构造一些广义Biconservative曲面具体的例子,并画出相应的图形.本文丰富了三维Minkowski空间中的曲面理论,特别是从新的视角给出了null scroll曲面新的几何解释,对类空和Lorentz曲面的研究具有一定的理论意义和应用价值.
张春晓[4]（2021）在《三维Minkowski空间中的广义Bertrand曲线》文中研究表明本文主要研究了三维Minkowski空间中的Bertrand曲线.通过考虑两条曲线的主法线之间的夹角为,我们定义了三维Minkowski空间中广义的类光Bertrand曲线和广义的非类光Bertrand曲线,并且给出一条曲线是广义的类光Bertrand曲线和广义的非类光Bertrand曲线的充要条件.此外,我们研究了广义的类光Bertrand曲线在一点的邻近结构.作为广义Bertrand曲线的应用,我们给出了斜螺线和广义Bertrand曲线之间的关系.
刘思瑶[5]（2021）在《类光曲面上类空曲线的广义焦曲面》文中研究说明在物理学和医学等领域,焦点集都具有广泛的应用意义.当焦点集是欧氏空间二维子流形时,称之为焦曲面.由于焦曲面广泛的适用性,许多学者对其结构以及奇点进行了研究.Hagen和Hahmann基于焦曲面的定义给出了广义焦曲面的定义,然而并没有学者研究过与一般类光曲面上的曲线有关的广义焦曲面和渐屈线的奇点,为满足这一需要本文进行了相关研究.本文研究的是三维Minkowski空间中由类光曲面上的类空曲线γ所生成的两类广义焦曲面和渐屈线的奇点.在研究过程中,建立了新的标架并提出了两种用来刻画广义焦曲面及其渐屈线奇点类型的几何不变量.揭示了γ和密切球的切触,广义焦曲面和渐屈线的奇点以及几何不变量之间的对应关系.最后,给出了两个例子来说明主要结论的正确性.
张诚,孙岩[6]（2020）在《三维Minkowski空间刚体运动下曲线的性质》文中研究表明三维Minkowski空间是研究最为广泛的一类伪欧氏空间,是内积的负指标数为1的不定度量线性空间。在欧氏空间中的微分几何经典教材和有关欧氏空间的刚体运动的相关文献中,给出了三维欧式空间中的刚体运动不改变曲线的弧长、曲率和挠率等相关的性质和定理,然而在三维Minkowski空间中却没有相应的结论。本文利用三维Minkowski空间的Frenet标架及该标架的运动方程,给出了三维Minkowski空间中刚体运动下曲线的弧长、曲率和挠率等性质。
徐慧敏[7]（2020）在《三维光锥上类空曲线的类达布指标和副法指标的类光曲面》文中研究说明本文通过在三维光锥中的类空曲线上引入一个新的标架,来研究由三维光锥上的类空曲线生成的类达布指标的类光曲面和副法指标的类光曲面的几何性质.为实现奇点理论的应用,将类达布指标的类光曲面的奇点和副法指标的类光曲面的奇点进行了分类,发现了一些新的类空曲线的不变量,新的不变量对这些奇点的刻画是有用的.与此同时,也发现了新的不变量度量了类空曲线或者位于三维光锥上的类空曲线的主法指标与顶点是类光曲面的奇点的二维光锥之间的切触阶数,最后提供了一个具体的例子来说明所得的结果.
孙鑫鑫[8]（2020）在《Randers空间中的Delaunay曲面》文中指出欧氏空间中常平均曲率曲面已得到了广泛研究,特别是三维空间中的常平均曲率曲面.1841年,C.Delaunay将R3中常平均曲率旋转曲面进行了分类,除了平面、球面、圆柱面、极小悬链曲面,还给出了unduloid（波状体）曲面和nodoid曲面.本文考虑一类Minkowski-Randers空间（R3,（?）b）,R3是欧氏空间,bF=a+b,其中a是欧氏度量,b是一个常1-形式.本文研究在BH-体积形式下,（R3,（?）b）中的平面曲线绕β#方向旋转生成的非零常平均曲率旋转曲面（称为Delaunay曲面）的形状.文章首先给出Finsler子流形平均曲率公式,并计算（R3,（?）b）中平面曲线绕β#方向旋转而成的超曲面的平均曲率,然后给出相应的常平均曲率旋转曲面的方程.通过详细分析b的不同值对曲面的影响,进而对旋转轴为β#的Delaunay曲面进行分类,得到明确的表达式并画出了图形.
赵启明[9]（2020）在《沿空间曲线的单参数可展曲面的微分几何》文中研究说明本文研究了欧氏空间中曲线的单参数可展曲面的一些微分几何性质,并且利用Lagrange奇点理论和Legendre奇点理论对三维欧氏空间中沿正则曲线和Frenet型标架曲线的单参数可展曲面的奇点进行了分类.欧氏空间中特殊曲线的子流形的奇点分类与研究一直是奇点理论的经典问题.2016年,S.Honda和M.Takahashi在标架曲线的基础上,定义了欧氏空间中的Frenet型标架曲线[29].这类曲线的特殊性在于它可以含有奇点,并且在曲线奇点处存在具有几何意义的单位切向量.在本文中,我们受S.Izumiya研究正则曲线的从切可展曲面[38]的方法启发,定义了三维欧氏空间中以空间曲线为导线的单参数可展曲面族,这类曲面的法向量落在它的导线的法平面内,是三维欧氏空间中重要的子流形.在本文中我们具体研究了由三维欧氏空间中正则曲线和Frenet型标架曲线作为导线的两类单参数可展曲面的一些几何性质,揭示了单参数可展曲面的奇点和曲线的几何不变量之间的关系,并利用奇点理论,对单参数可展曲面的奇点进行了分类.本文共分为四章.第一章是引言部分,主要介绍了奇点理论从诞生伊始的历史发展概况和与本课题相关的研究背景,研究现状,并简要阐述了全文的研究目的,方法,内容和结构.第二章主要介绍了奇点理论中的一些基本概念与本文用到的主要结果.第三章主要研究了三维欧氏空间中沿正则曲线的单参数可展曲面的局部微分几何,给出了沿正则曲线的单参数可展曲面的奇点分类,并给出了具体的例子.第四章主要研究了三维欧氏空间中沿Frenet型标架曲线的单参数可展曲面的局部微分几何,给出了沿Frenet型标架曲线的单参数可展曲面的奇点分类,并给出了具体的例子.
连雪宁[10]（2019）在《de Sitter空间中类空曲线世界片的奇点》文中研究指明本文主要研究位于三维双曲空间和三维de Sitter空间中的四类世界片的几何性质.在时空几何的理论框架下,应用奇点理论相关知识,得到这些世界片的奇点具有两种类型,即在局部意义上,这四类世界片分别微分同胚于尖棱（Cuspidal edge）和燕尾（Swallowtail）.并且指出第一双曲世界片和第二双曲世界片是△1-对偶于类空曲线的切线.此外,根据条件σd（s）≠0,σd（s）=0或σ’d（5）≠0,世界片的奇点类型可以由几何不变量σd（s）加以刻画.最后在结尾处提供了两个明确的例子印证得到的理论结果。
二、一类三维Minkowski空间中的曲线（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一类三维Minkowski空间中的曲线（论文提纲范文）
（1）时间序列的结构复杂性及相似性研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 引言 |
| 1.1 研究背景与研究对象 |
| 1.1.1 熵的起源与发展 |
| 1.1.2 时间序列的结构复杂性 |
| 1.1.3 时间序列的相似性 |
| 1.2 本文主要工作 |
| 2 基于样本熵曲线的时间序列结构复杂性研究 |
| 2.1 方法介绍 |
| 2.1.1 传统样本熵方法 |
| 2.1.2 基于Tsallis熵的样本熵曲线 |
| 2.2 qSampEnAve方法模拟序列分析 |
| 2.3 qSEDiffAve方法模拟序列分析 |
| 2.4 心跳间隔序列实证分析 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 基于全局递归量化分析的时间序列结构复杂性研究 |
| 3.1 方法介绍 |
| 3.1.1 递归量化分析 |
| 3.1.2 全局递归量化分析 |
| 3.2 模拟序列分析及参数选择 |
| 3.2.1 重现率 |
| 3.2.2 层状度 |
| 3.2.3 确定性和Rényi熵 |
| 3.2.4 不同类型序列比对分析 |
| 3.3 股票数据实证分析 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 基于置换分布熵的时间序列结构复杂性与相似性研究 |
| 4.1 方法介绍 |
| 4.1.1 置换分布熵 |
| 4.1.2 动态香农熵 |
| 4.1.3 基于交叉置换分布熵的概率密度加权距离 |
| 4.2 动态香农熵方法的模拟序列分析 |
| 4.2.1 非周期序列分析 |
| 4.2.2 周期性序列分析 |
| 4.3 工程数据实证分析 |
| 4.4 PID方法的模拟序列分析 |
| 4.5 股票数据实证分析 |
| 4.6 本章小结 |
| 5 基于改进多维标度法的时间序列相似性研究 |
| 5.1 方法介绍 |
| 5.1.1 传统多维标度法 |
| 5.1.2 基于KrD距离的多维标度法 |
| 5.2 模拟序列分析 |
| 5.3 股票数据实证分析 |
| 5.4 拓展研究 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果 |
| 学位论文数据集 |
（2）三维Minkowski空间中特殊类光Cartan曲线与混合型曲线的微分几何（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 研究背景和研究现状 |
| 1.2 论文的研究内容和结构 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 三维Minkowski空间中的基本概念 |
| 2.2 三维Minkowski空间中非类光曲线和类光曲线的标架 |
| 第3章 三维Minkowski空间中的特殊类光曲线和可展曲面 |
| 3.1 平面曲线与类光螺线的构造 |
| 3.2 Cartan斜螺线 |
| 3.3 类光Darboux 可展和类光单位Darboux 可展 |
| 3.4 例子 |
| 第4章 三维Minkowski空间中的混合型曲线和光锥标架 |
| 4.1 混合型曲线 |
| 4.2 光锥标架 |
| 4.3 混合型曲线的渐屈线 |
| 4.4 例子 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表论文及着作情况 |
（3）三维Minkowski空间中广义Biconservative曲面的分类（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 结构安排与研究内容 |
| 2 基本知识 |
| 2.1 Minkowski空间 |
| 2.2 基本公式 |
| 2.3 旋转曲面 |
| 2.4 广义Biconservative曲面 |
| 3 类空的广义Biconservative曲面 |
| 3.1 曲面的分类定理 |
| 3.2 定理证明 |
| 3.3 例子 |
| 4 类时的广义Biconservative曲面 |
| 4.1 定理和结论 |
| 4.2 定理证明 |
| 4.3 例子 |
| 5 结论 |
| 5.1 本论文的主要工作 |
| 5.2 进一步的工作方向 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的学术论文及参加科研情况 |
（4）三维Minkowski空间中的广义Bertrand曲线（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 引言 |
| 第一章 预备知识 |
| 1.1 三维Minkowski空间中的基本概念 |
| 1.2 伪欧氏空间中的角的定义 |
| 第二章 三维Minkowski空间中的Bertrand曲线 |
| 2.1 三维Minkowski空间中的非类光Bertrand曲线 |
| 2.2 三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线 |
| 第三章 三维Minkowski空间中的广义Bertrand曲线 |
| 3.1 三维Minkowski空间中的广义非类光Bertrand曲线 |
| 3.2 三维Minkowski空间中的广义类光Bertrand曲线 |
| 3.3 三维Minkowski空间中的广义类光Bertrand曲线在一点的邻近结构 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表论文及着作情况 |
（5）类光曲面上类空曲线的广义焦曲面（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 本章小结 |
| 第3章 距离平方函数,A_k类奇点和切触 |
| 3.1 距离平方函数 |
| 3.2 A_k类奇点 |
| 3.3 切触 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 函数的开折以及主要结论 |
| 4.1 函数的开折 |
| 4.2 主要结论及其证明 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 例子 |
| 5.1 de Sitter焦曲面的例子 |
| 5.2 双曲焦曲面的例子 |
| 5.3 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（7）三维光锥上类空曲线的类达布指标和副法指标的类光曲面（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 本章小结 |
| 第3章 高度函数 |
| 3.1 高度函数 |
| 3.2 A_k-奇点 |
| 3.3 几何不变量的几何意义 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 高度函数的Versal开折 |
| 4.1 高度函数的Versal开折 |
| 4.2 主要定理 |
| 4.3 LC_*~3上类空曲线的一般性质 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 例子 |
| 5.1 例子 |
| 5.2 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（8）Randers空间中的Delaunay曲面（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状和本文主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 基本概念及定义 |
| 2.2 曲率张量 |
| 第三章 (R~3,(?)_b)中旋转曲面的平均曲率 |
| 3.1 Randers流形体积的第一变分公式 |
| 3.1.1 平均曲率 |
| 3.1.2 Randers超曲面的体积第一变分 |
| 3.1.3 (α,β)-超曲面的体积第一变分 |
| 3.2 (R~3,(?)_b)中旋转曲面的平均曲率 |
| 第4章 Delaunay型曲面 |
| 4.1 E=0的情况 |
| 4.2 E≠0的情况 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文及科研成果 |
（9）沿空间曲线的单参数可展曲面的微分几何（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第1章 引言 |
| 1.1 奇点理论研究背景和现状 |
| 1.2 本文的研究内容及结构 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 芽空间和导网 |
| 2.2 横截性 |
| 2.3 映射芽的通有开折 |
| 第3章 正则曲线的单参数可展曲面的奇点 |
| 3.1 正则曲线的从切可展曲面 |
| 3.2 正则曲线的单参数可展曲面族 |
| 3.3 单参数支撑函数 |
| 3.4 单参数支撑函数的开折 |
| 3.5 通有性 |
| 3.6 例子 |
| 第4章 Frenet型标架曲线的单参数可展曲面的奇点 |
| 4.1 标架曲线 |
| 4.2 Frenet型标架曲线的单参数可展曲面族 |
| 4.3 单参数支撑函数 |
| 4.4 单参数支撑函数的开折 |
| 4.5 通有性 |
| 4.6 例子 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表（投稿中）论文及着作情况 |
（10）de Sitter空间中类空曲线世界片的奇点（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 主要结论 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 高度函数 |
| 3.1 双曲高度函数 |
| 3.1.1 第一双曲高度函数 |
| 3.1.2 第二双曲高度函数 |
| 3.2 de Sitter高度函数 |
| 3.2.1 第一de Sitter高度函数 |
| 3.2.2 第二de Sitter高度函数 |
| 3.3 本章小结 |
| 第4章 主要结论及证明 |
| 4.1 Legendrian对偶理论下的世界片及奇点集 |
| 4.2 奇点的分类 |
| 4.3 主要结论的证明 |
| 4.4 例子 |
| 4.4.1 第一双曲世界片的例子 |
| 4.4.2 第二de Sitter世界片的例子 |
| 4.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
四、一类三维Minkowski空间中的曲线（论文参考文献）
- [1]时间序列的结构复杂性及相似性研究[D]. 何佳毅. 北京交通大学, 2021(02)
- [2]三维Minkowski空间中特殊类光Cartan曲线与混合型曲线的微分几何[D]. 刘通昌. 东北师范大学, 2021(09)
- [3]三维Minkowski空间中广义Biconservative曲面的分类[D]. 朱小莹. 辽宁大学, 2021(12)
- [4]三维Minkowski空间中的广义Bertrand曲线[D]. 张春晓. 东北师范大学, 2021(12)
- [5]类光曲面上类空曲线的广义焦曲面[D]. 刘思瑶. 哈尔滨师范大学, 2021(08)
- [6]三维Minkowski空间刚体运动下曲线的性质[J]. 张诚,孙岩. 辽宁科技大学学报, 2020(05)
- [7]三维光锥上类空曲线的类达布指标和副法指标的类光曲面[D]. 徐慧敏. 哈尔滨师范大学, 2020(01)
- [8]Randers空间中的Delaunay曲面[D]. 孙鑫鑫. 西南交通大学, 2020(07)
- [9]沿空间曲线的单参数可展曲面的微分几何[D]. 赵启明. 东北师范大学, 2020(01)
- [10]de Sitter空间中类空曲线世界片的奇点[D]. 连雪宁. 哈尔滨师范大学, 2019(01)