中性微分方程零解的稳定性和全局 Hopf 分支

一、中立型微分方程零解的稳定性与全局Hopf分支（论文文献综述）

范琰慧^[1]（2021）在《一类中立型热传导方程的分支分析》文中认为热传导过程是自然界中广泛存在的一种扩散现象,是数学与物理学研究中的一个重要领域。然而经典的热传导方程在描述热量在介质中传播时有一定的局限性。为此,一些学者通过引入时滞建立了修正的热传导方程,以避免这一局限。本论文的主要内容是,研究一类中立型热传导方程的分支问题。首先,基于热量传导的实际背景,分别用两个不同的时滞刻画热通量与内能的随温度升高的滞后效应,建立了具有双时滞的中立型热传导方程。其次,运用几何方法研究特征方程的根分布。通过Laplace算子的特征值问题将对应的特征方程转化为一系列等价的超越方程,利用几何方法确定纯虚根范围以及时滞参数的表达式,得到了中立型热传导方程的分支曲线,以刻画方程具有纯虚特征根以及平衡解发生稳定性转换对应的临界时滞参数,并利用隐函数定理得到分支曲线横截方向的显式表达式。进而,结合分支曲线的分布情况给出了判断系统平衡解稳定性的参数范围。最后,分析中立型热传导方程的Hopf分支。以中立项时滞为分支参数证明了横截条件,结合分支曲线上对应的纯虚根,说明方程在临界时滞参数处经历了Hopf分支。计算中立型热传导方程的规范型,进而得到判定Hopf分支性质的关键参数。另外,我们还考虑了与本方程相关联的中立型泛函微分方程,通过证明二者规范型的相等,说明了扩散项对所考虑方程的Hopf分支性质的影响。基于本文所得的结论,选取合适的参数进行了数值模拟,直观呈现并验证了理论结果。

许晶^[2]（2019）在《两类半离散延迟微分系统的Hopf分支研究》文中研究表明许多自然和人工的系统都可以抽象为延迟微分系统,并且很多系统都会发生分支现象。通常情况下,人们希望产生的分支是有利的,但在现实生活中,许多分支是有害的,这时就需要对它进行控制。因此,延迟微分系统的分支存在性和分支控制问题近年来已成为一个热门研究领域。半离散化是一种众所周知的技术,其基本思想是将系统中的部分项进行离散处理,使其仅需在有限个离散点处进行观测,与连续系统的观测相比,更经济,更实用。因此,将半离散方法应用于研究延迟微分系统的分支和分支控制问题是很有意义的。本文系统地对两类半离散延迟微分系统的Hopf分支问题进行了研究,具体安排如下:第二章中,讨论了一类半离散中立型延迟微分系统的Hopf分支问题。基于已有的连续时间中立型延迟微分系统Hopf分支的研究结果,对半离散中立型延迟微分系统的Hopf分支进行探究。证明了在采样周期充分小的情况下,半离散中立型延迟微分系统与连续时间中立型延迟微分系统的稳定性和Hopf分支结构近似。给出了半离散系统稳定和经历Hopf分支的条件。最后,给出一个数值算例来说明结果的正确性。第三章中,研究一类具有离散时间延迟反馈控制的延迟微分系统的Hopf分支问题。首先,对连续时间延迟反馈控制系统的稳定性进行分析,得到系统经历Hopf分支的条件和使系统渐近稳定的控制参数的有效范围。接着,基于所得到结果对离散时间延迟反馈控制系统进行研究,证明了当采样周期充分小时,离散时间延迟反馈控制系统的有效控制范围与连续时间系统的近似。同时,对采样周期的界限进行估计。最后,通过数值仿真说明结果的正确性和有效性。

林宇平^[3]（2019）在《一类中立型偏泛函微分方程Hopf分支分析》文中研究指明时滞微分方程在生态、医学、控制等众多不同领域都有广泛的应用。其中不乏有部分方程,其最高阶导数存在滞后,也就是中立型泛函微分方程。本文针对一类中立型泛函微分方程,将其化为抽象的常微分方程,运用中心流形与规范型理论,求解其对应的第一李雅谱诺夫系数的表达式,从而探究其Hopf分支性质,最后取特定的参数值进行数值模拟。首先,求解出所研究的中立型微分方程的特征方程,分析了特征方程解的情况;同时,求解出发生Hopf分支时参数的取值,并且验证了横截条件。从而,验证所选参数在所研究的系统中,Hopf分支现象的存在性。然后,运用Riesz表示定理将中立型偏微分方程化为抽象型常微分方程,并将其在BC空间的有限维子空间与无限维子空间上进行分解;同时,运用中心流形与规范型相关理论与方法,最终给出了系统对应的第一李雅谱诺夫系数显式表达式,可以直接用于判断方程的分支性质。最后,进行数值模拟。对方程中的参数选取适当的值,利用Matlab进行相应的数值计算,验证结论的正确性。

王慧灵^[4]（2019）在《两类非线性延迟微分方程的振动性分析》文中进行了进一步梳理本文主要对两类非线性延迟微分方程的振动性进行了分析,其中一类为非线性中立型延迟微分方程,另一类为非线性慢性骨髓性白血病模型.现今对于延迟微分方程,有很多关于其稳定性的研究文章,但是关于其数值解振动性的研究文章还比较少,并且只限于几类比较简单特殊的延迟微分方程,且大部分上是关于线性模型的,那么关于非线性模型振动性的研究文章更是少之又少.又由于非线性模型在现实生活中的应用比线性模型更加广泛.通过研究这两类非线性延迟微分方程的振动性,能够帮助我们更好更详细地分析的实际情况,因此此课题的研究极具意义.本文在第一章对延迟微分方程的发展背景给出了详细的介绍说明,总结了一些与延迟微分方程数值解的振动性方面有关的一些发展现状.本文第二章给出了一些延迟微分方程振动的一些定理和定义,还有三个常用的不等式.本文在第三章研究了一类带有多项延迟的非线性常系数中立型延迟方程解析解振动性.对于此中立型模型,得到了当0<P<1时解析解振动的充分条件,以及当P ≥1时解振动的充要条件,并且给出了相应的算例.在第四章中,分析了一类慢性骨髓性白血病模型解析解和数值解的振动以及非振动性的一些理论结果.对于此模型,运用线性化条件,通过分析讨论特征方程根的情况,得到了该方程解析解振动的充分条件.对该微分方程模型,利用线性θ-方法,将其转化为延迟差分方程,最后利用差分方程振动性定理,得到其数值解振动的充分条件.在保证其解析解振动的条件下,线性θ-方法保持数值解振动的充分条件,以及非振动数值解的渐近性质.为了有力的验证的理论,给出了一些相应的算例,验证所得理论的正确性.

范秋华^[5]（2018）在《一类食饵具年龄结构的中立型捕食模型的Hopf分支分析》文中指出中立型捕食者-食饵模型能充分体现自然界种群变化的规律,具有很强的现实意义,逐步成为学者研究的热点。中立型捕食者-食饵模型表明捕食者或食饵当前时刻的种群变化率与过去时刻的种群变化率有关,这样更加贴近物种变化的规律,具有明确的生物意义。首先,考虑到捕食者对食饵捕食时具有选择性的现象,建立了一类食饵具有年龄结构的中立型捕食模型,该模型是由具有年龄结构的中立型单种群模型推导得到的,并假定捕食者只捕食成年食饵,幼年食饵不外出活动。其次,讨论模型零平衡点,边界平衡点,以及正平衡点的存在性。在平衡点处研究特征方程根的分布,得到了三个平衡点稳定的条件。分别在两种情况下研究模型中正平衡点处的Hopf分支存在性,包括食饵幼年死亡率为零和食饵幼年死亡率不为零两种情况。应用中心流形定理及规范型理论,研究正平衡点处产生的Hopf分支性质,主要包括分支的方向及分支周期解的稳定性。最后,选取时滞为参数,在上述两种情况下,得到了在时滞取不同值处,模型正平衡点的稳定性和Hopf分支周期解的存在性,对所得理论结果给予算例支撑。本文的结果从生物的角度解释了如下现象:当时滞较小时,在出现外界条件微小扰动的情况下,捕食者和食饵的种群数量仍然会最终稳定到模型的正平衡点所代表的状态;而当时滞比较大的情况下,捕食者和食饵的种群数量均会随时间变化产生周期性振动。

吕秋谕^[6]（2018）在《时滞中立型神经网络的动力学行为分析》文中研究表明神经网络模型是为了描述神经网络中神经元之间信息的传递和处理,人为设计和综合出来的一种模拟系统。近年来,多种多样的神经网络模型已被世界各个国家的学者进行研究。在现实应用实践中,时滞、不确定参数等在一定程度上影响着神经网络系统的多种动力学性质,因此对各种时滞神经网络系统模型的动力学性质问题进行研究具有重要实际性意义。论文主要针对两类具有不同时滞的中立型神经网络模型的稳定性和Hopf分岔进行研究。论文对时滞中立型神经网络的动力学行为进行了深入的研究,首先,研究具有单时滞中立型神经网络的平衡点的稳定性,及该神经网络产生Hopf分岔的条件。随后,研究具有双时滞中立型神经网络的平衡点的稳定性,及该神经网络产生局部Hopf分岔的条件,并利用全局Hopf分支理论,研究该系统全局周期解的存在性。本文的主要内容包括以下几个部分:首先,对单时滞中立型微分方程的动力学行为进行分析。利用适当的Lyapunov函数,分析该单时滞中立型神经网络微分方程的平衡点的全局渐近稳定性,通过计算得到了充分条件。并通过将方程简化为线性方程,利用特征方程根的存在性等理论得到产生Hopf分岔的存在性判据。此外,证明方程具有全局周期解,还利用微扰理论根据基频系数求出了任意阶的振动展开式,并详细推导出二阶的频率-振幅关系。其次,对双时滞中立型神经网络微分方程的动力学行为进行分析。分别选取时滞t1、t2作为参数,分析了该神经网络微分方程平衡点的局部稳定性,并给出了该神经网络系统的渐近稳定的充分条件。利用中心流形定理和规范式理论,通过计算得到了该神经网络产生Hopf分岔的条件,并给出了周期解稳定性和Hopf分岔方向的公式。此外,利用全局Hopf分岔定理,研究了该双时滞中立型神经网络系统全局周期解的存在性。再者,进行了数值仿真验证分析,主要是针对前面的分析所得的结论,进行数值实验验证。最后,对论文的主要工作进行了详细总结,并对下一步研究课题及工作进行了展望。

黄浩^[7]（2018）在《几类脉冲随机泛函微分系统的可控性与稳定性》文中指出本文主要研究Hilbert空间框架下四类时滞依赖于状态的无穷维随机中立型泛函微分系统温和解的存在性和可控性;另外,还讨论了一类具Markov调制的脉冲随机泛函微分系统的p阶矩指数稳定性.本文所做的主要工作包括以下几个方面:第一章概述了有限维随机微分方程和无穷维随机微分系统的研究现状和意义.第二章简要介绍了与本论文相关的预备知识,主要包括随机微分方程理论、Q-Wiener过程与无穷维随机积分、泊松点过程和泊松随机测度、积分微分（发展）方程与预解算子理论、二阶抽象微分方程理论、几个常用的不动点定理与不等式.第三章研究了一类时滞依赖于状态的一阶脉冲中立型随机积分微分方程解的存在性和可控性.在预解算子非紧的前提下,利用不动点定理、解析预解算子理论、分数阶算子理论和α模理论,在合适的条件下获得了温和解的存在性和系统可控性.最后,以带有退化记忆的随机热传导方程为例,说明结果的有效性.第四章考虑了一类时滞依赖于状态的一阶脉冲中立型随机积分微分发展方程解的存在性和可控性.利用Banach不动点定理、Sadovskii不动点定理和解析预解算子理论,在合适的条件下获得了温和解的存在性和系统可控性,所得结果推广了已有文献中的相关结论.第五章讨论了一类时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机积分微分发展方程解的存在性和可控性.首先,我们借助二阶发展方程基础理论,在不同的假设条件下,分别利用Sadovskii不动点定理与Krasnoselskii-Schaefer不动点定理,建立了温和解的存在性;然后,在合适的条件下,利用Banach不动点定理获得了所论方程的可控性,并且将所得的结果应用到时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机波动方程上,获得了相关结论.第六章研究了一类带有泊松跳的时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机微分方程的渐近可控性.利用有界线性算子强连续余弦族理论、Sadovskii不动点定理和随机分析技巧,在合适的条件下,得到了所论方程的渐近可控性,并且将所得结果应用到带有泊松跳的时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机波动方程上,获得了相关结论.第七章中,我们利用Lyapunov泛函方法、Razumikhin技巧和随机分析技巧,针对一类具Markov调制的一阶脉冲随机泛函微分系统,获得了其解p阶矩指数稳定性的判别条件.该结果表明,对于有些不稳定的具Markov调制的随机泛函微分方程,在脉冲的影响下反而会变得稳定.最后,我们用两个数据仿真实例说明了这一点.

段代凤^[8]（2017）在《一类具年龄结构的中立型种群模型的分支研究》文中进行了进一步梳理随着生物数学理论的不断发展,中立型泛函微分方程已经被越来越广泛地用于描述生物种群模型的演化规律。中立型泛函微分方程一般被用来描绘当前时刻状态变化率依赖于历史时刻状态变化率的发展系统,在种群模型中这意味着当前时刻的种群数量增长率依赖于历史某时刻的增长率。首先,对具年龄结构的双曲模型进行约化,得到了一类具有年龄结构的种群增长的中立型方程。通过选择不同的出生函数,得到了两类要研究的模型,第一类模型的增长率按照logistic形式进行,第二类模型的增长率按照指数形式进行。其次,针对第一类模型,讨论了模型平衡解的稳定性,通过分析特征方程,得到了关于零解和正平衡解的稳定性结果。接下来分成两种情形研究了方程的Hopf分支性质。第一种是幼年个体死亡率被忽略的情形;第二种是幼年个体死亡率没有被忽略的情形。应用中心流形定理与规范型理论,研究了正平衡解处的Hopf分支方向与分支周期解的稳定性。针对第二类模型,研究了按照指数形式增长的微分方程平衡解的稳定性,并分两种情形研究了方程的Hopf分支性质。此外,得到了正平衡解处的Hopf分支方向与分支周期解的稳定性。最后,以第二类模型为例研究了方程的全局Hopf分支。利用全局Hopf分支定理给出了方程周期解的大范围存在性条件。同时,对理论分析结果给予了数值算例支撑。

曾小彩^[9]（2017）在《中立型神经网络模型的稳定性和Hopf分支分析》文中认为神经网络模型是为了描述神经网络中神经元之间信息的传递和处理,人为设计和综合出来的一种模拟系统.系统中的一些参数:突触的连接权值,外部输入,神经元的阀值及时延常数等都存在着一定误差,这些误差在一定程度上影响着神经网络系统的动力学性质,因此研究神经网络系统的分支问题是非常有实际性意义.本文主要研究两类具有不同时滞的中立型神经网络模型的稳定性和Hopf分支.第一部分我们讨论了具两个离散时滞的中立型神经网络模型的动力学性质.首先,分别以t1,t2为参数讨论特征方程根的分布情况,给出了系统在平凡解处的稳定性条件和局部Hopf分支存在的充分条件.然后利用规范型定理,中心流形理论得到了确定局部Hopf分支方向和局部分支周期解的稳定性的计算公式.最后给出一个实例,利用Matlab软件给出模拟图,进一步验证我们分析得出的结论.第二部分我们研究了具离散时滞和分布时滞的中立型神经网络模型.首先,在以t1,t2为分支参数的情况下,通过分析指数多项式方程根的分布情况给出了平凡解的稳定性条件,局部Hopf分支存在性的充分条件.然后利用全局Hopf分支理论讨论局部分支的延拓性.最后通过计算机模拟给出数值图,验证了主要结论.

刘铭^[10]（2015）在《几类中立型动力系统的研究及在林业工程中的应用》文中研究说明中立型动力系统常常用来描述当前时刻状态变化率依赖于历史时刻状态变化率的发展系统。它在无损传输线路问题、生态系统和控制系统中有着广泛应用,研究此类系统的稳定性与Hopf分支有助于揭示系统复杂的动力学行为。本文主要在理论方面研究了两类中立型神经网络系统的稳定性、振动性、Hopf分支性质和全局Hopf分支等问题；在应用方面研究了中立型动力系统在林业工程中的一些应用,包括果实机械振动采收以及木工机床旋转机械故障信号检测和扭转振动控制等方面。首先,研究了一类中立型二元神经网络模型的动力学性质。利用稳定性理论研究了中立型二元神经网络的稳定性、Pitchfork分支和Hopf分支存在性等问题；利用中心流形理论和规范型方法研究了中立型二元神经网络Hopf分支的性质（包括分支方向和分支周期解的稳定性）；利用全局Hopf定理和高维Bendixon准则研究了中立型二元神经网络的全局Hopf分支；并利用Chafee极限环定理研究了一类中立型二元神经网络振动解的存在性。另外,还研究了一类简化的中立型BAM神经网络模型的动力学性质,得到了参数平面内稳定性区域的明确划分,并通过二阶复合阵理论,研究了系统全局Hopf分支的存在条件。其次,研究了中立型动力系统在果实振动采收理论中的应用。通过引入非线性等效弹性刚度和时滞阻尼等因素,将现有的采收机-果树线性振动模型改进为时滞和中立型非线性振动模型,利用动力系统的稳定性理论研究了无外激励时果树振动系统的稳定性,并结合平均法原理,将有外激励时果树振动的非自治系统化为近似的自治系统,于是将研究非自治系统周期解的问题转化为研究自治系统平衡点的问题,通过详细的分析,得到了果树受迫振动模型中周期振动的存在性和稳定性条件。这种研究方法可以克服系统不具有小参数的问题。最后,研究了中立型动力系统在木工机床旋转机械故障信号检测和扭转振动控制的两方面应用。一方面,构造了三个前馈时滞耦合van del Pol振子并详细分析其动力学性质,包括稳定性和分支等,利用Hopf分支的非线性增长特性,研究了利用该系统来实现微弱信号振幅增强的方法与效果。另一个方面,提出利用中立型时滞动力吸振器抑制扭转系统振动的方法,利用动力系统的稳定性理论研究了动力吸振器和减振系统的稳定性,利用稳定性切换的方法研究了中立型动力吸振器的减振效果,通过研究发现,相比传统的动力吸振器和一般的时滞动力吸振器,中立型时滞动力吸振器具有更好的减振效果和实用性。

二、中立型微分方程零解的稳定性与全局Hopf分支（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、中立型微分方程零解的稳定性与全局Hopf分支（论文提纲范文）

（1）一类中立型热传导方程的分支分析（论文提纲范文）

（2）两类半离散延迟微分系统的Hopf分支研究（论文提纲范文）

（3）一类中立型偏泛函微分方程Hopf分支分析（论文提纲范文）

（4）两类非线性延迟微分方程的振动性分析（论文提纲范文）

（5）一类食饵具年龄结构的中立型捕食模型的Hopf分支分析（论文提纲范文）

（6）时滞中立型神经网络的动力学行为分析（论文提纲范文）

（7）几类脉冲随机泛函微分系统的可控性与稳定性（论文提纲范文）

（8）一类具年龄结构的中立型种群模型的分支研究（论文提纲范文）

（9）中立型神经网络模型的稳定性和Hopf分支分析（论文提纲范文）

（10）几类中立型动力系统的研究及在林业工程中的应用（论文提纲范文）

四、中立型微分方程零解的稳定性与全局Hopf分支（论文参考文献）

• [1]一类中立型热传导方程的分支分析[D]. 范琰慧. 哈尔滨工业大学, 2021
• [2]两类半离散延迟微分系统的Hopf分支研究[D]. 许晶. 哈尔滨工业大学, 2019(01)
• [3]一类中立型偏泛函微分方程Hopf分支分析[D]. 林宇平. 哈尔滨工业大学, 2019(02)
• [4]两类非线性延迟微分方程的振动性分析[D]. 王慧灵. 哈尔滨师范大学, 2019(01)
• [5]一类食饵具年龄结构的中立型捕食模型的Hopf分支分析[D]. 范秋华. 哈尔滨工业大学, 2018(02)
• [6]时滞中立型神经网络的动力学行为分析[D]. 吕秋谕. 西南大学, 2018(01)
• [7]几类脉冲随机泛函微分系统的可控性与稳定性[D]. 黄浩. 安徽大学, 2018(09)
• [8]一类具年龄结构的中立型种群模型的分支研究[D]. 段代凤. 哈尔滨工业大学, 2017(02)
• [9]中立型神经网络模型的稳定性和Hopf分支分析[D]. 曾小彩. 南昌大学, 2017(02)
• [10]几类中立型动力系统的研究及在林业工程中的应用[D]. 刘铭. 东北林业大学, 2015(01)

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